Inequação-Dúvida

por Wanderlei Costa Sáb 17 Abr 2021, 15:56

I) Log1/10 (x² + 1) < Log1/10 (2x - 5)

x²+1 > 2x-5 C.E logaritimando
x²-2x+6 >0 x²+1>0 2x - 5>0
∆ <0 ∆ < 0 x> 5/2

S = {x ∈ R / x > 5/2 }

II) Log(x² - x -2) < log(x-4)

x²-x-2 < x-4
x² -2x +2 <0
∆ <0

S = { Ø }

Na equação II, não precisou fazer a interseção com condição de existência porque a solução é vazia, pois não possui raízes reais.
Por que, na equação I se fez a interseção com a condição de existência mesmo com a primeira inequação não possuindo raízes reais?

por **Elcioschin** Sáb 17 Abr 2021, 18:06

I) log_1/10(x² + 1) < log_1/10(2.x - 5)

Condições de existência:

a) x² + 1 > 0 ---> É sempre verdade, nos reais
b) 2.x + 5 > 0 ---> x > 5/2

Como a base 1/10 é menor do que 1, ao se comparar deve-se inverter o sinal da inequação:

x² + 1 > 2.x - 5 ---> x² - 2.x + 6 > 0 --> Sem raízes reais

Temos uma parábola com a concavidade voltada para cima: ela é sempre positiva

A interseção com x > 5/2 resulta na solução final: x > 5/2

II) Existe apenas uma diferença: a base vale 10 logo, o sinal < da inequação permanece, ao comparar os logaritmandos.

Condições de existência

a) x² - x - 2 < 0 ---> Raízes x' = -1 e x" = 2 --> xV = 1/2 ---> -1 < x < 2

b) x - 4 > 0 ---> x > 4

x² - x - 2 < x - 4 ---> x² - 2.x + 2 < 0 ---> ∆ < 0 ---> ∆ <0 ---> S = { Ø }

Esta parábola está acima do eixo x ---> Ela nunca é negativa