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Questão de fatoração

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Resolvido Questão de fatoração

Mensagem por Pierre Dzurunda Seg 12 Abr 2021, 20:29

Determine o resto da divisão de [latex]\sum_{k=1}^{200}k!(k^{2} + 3k + 1)[/latex] por 2004.
Spoiler:


Última edição por Pierre Dzurunda em Ter 13 Abr 2021, 08:52, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Questão de fatoração

Mensagem por SilverBladeII Ter 13 Abr 2021, 00:23

[latex]
\begin{align*} S &= \sum_{i=1}^{n} k!(k^2+3k+1) \\
&=\sum_{i=1}^{n} k!((k+1)(k+2)-1)\\
&=\sum_{i=1}^{n} (k+2)!-k!\\
&= \sum_{i=1}^{n} (k+2)! - \sum_{i=1}^{n}k!\\
&= \sum_{i=3}^{n+2}k!-\sum_{i=1}^{n}k!\\
&= (n+1)!+(n+2)!-1!-2!\\
&= (n+3)(n+1)!-3
\end{align*}
[/latex]
Fazendo n=200, como 2004=4*2*167, temos que 
2004|200!, portanto S é congruente a -3 módulo 2004, que é o mesmo que resto 2001 na divisão por 2004
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