UNICAMP 2ª fase 2012, q.23. UTILIZE VETORES.

As respostas

Bom, galera, tive bastante problema na letra b ao usar vetores pra descobrir a relação entre a abscissa e a ordenada do centro da circunferência. Tentei usar produto interno nulo entre vetores perpendiculares e até igualar a área do triangulo ao módulo do produto vetorial. A resposta não bate. Peço por favor que utilizem vetores ou mesmo algo mais sofisticado que formulas do ensino médio, pq as resoluções que eu vejo parecem muito grandes.

Equação da circunferência: (x - xC)² + (y - yC)² = r² ---> r = 2

Para y = 2.x ---> (x - xC)² + (2.x - yC)² = 4

Para y = x/2 ---> (x - xC)² + (x/2 - yC)² = 4

Desenvolva as duas equações e depois tente resolver o sistema

o fato de todas passarem pela origem facilita bastante.

Nossa, valeu muito! Na hora me ocorreu de encontrar as coordenadas de centro através o produto interno entre "u" e "v", sendo que o meu "u" era o vetor que sai do ponto de tangencia esquerdo e vai até o centro. Não batia de jeito nenhum. Tão simples, bastava uma soma dos dois vetores da tangente pra achar. Mais uma vez,  .

Diego

não me leve a mal mas acho que lhe falta aderência à teoria.

a) até hoje não sei o que chamam de "produto interno". Se produto interno for o produto escalar, ou seja, a operação cujo resultado é um escalar; para quê serve isto? Esta operação não nos leva a lugar algum. Se for o produto vetorial, o resultado é um vetor perpendicular ao plano de u e v, cuja interpretação geométrica é a área do paralelogramo e isto tb não nos ajuda em nada aqui.

b) vetor é um operador que leva de um ponto a outro. E a soma leva ao ponto resultante de ambos.

Só isto. Nem precisaria desenhar o vetor u (livre) do ponto P ao centro O, bastava fazer a soma com os que já estavam sobre as retas dadas.

Sim, verdade. Mas pense aqui comigo no ponto de tangência esquerdo. Esse a gente acha fácil apenas sabendo que o módulo do vetor que vai do centro até ele vale 2. A partir dai, se eu defino um vetor que vai desse ponto até o centro (Xc,Yc), eu sei que esse vetor deve ser perpendicular ao vetor tangente que foi facilmente calculado. Se existe perpendicularidade, usar o produto escalar nulo deve nos dar uma relação entre as coordenadas do centro. Estou errado?

Quanto ao produto vetorial, seu módulo é a área do paralelogramo, que dividida por 2 deve dar a área do triângulo formado pelos dois vetores que eu citei no paragrafo anterior. Essa área calculamos facilmente, possibilitando obter, novamente, uma relação entre as coordenadas do centro. 

Produto interno, escalar, tudo igual. Se for em inglês vira produto de ponto, por que a operação é representada por um ponto... enfim, produto interno é nacionalmente reconhecido como o produto escalar, basta jogar no Google. 

Eu sei que bastava somar os dois vetores, mas na hora de resolver você sempre põe em prática a ideia que vem na cabeça, e eu não tinha nenhum motivo pra pensar que não iria funcionar. Uma pena que até agora não tenha entendido por que o resultado não bateu. Se tiver um tempo pra revisar qualquer uma das duas abordagens eu ficaria eternamente grato. 

Se eu estivesse completamente equivocado nas abordagens, faria sentido também, afinal de contas deu errado. Se tiver identificado o erro, eu sou todo ouvidos.