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quantos depósitos serão necessários

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Resolvido quantos depósitos serão necessários

Mensagem por Vendramini Ter 06 Abr 2021, 11:55

Uma pessoa deposita mensalmente $280 em um fundo de investimento que paga juros efetivos de 5% a.m.. No futuro pretende resgatar o investimento por meio de cinco saques semestrais de $14.253,54, o primeiro cinco meses após o último depósito. Quantos depósitos serão necessários? (40)


Última edição por Vendramini em Ter 06 Abr 2021, 12:40, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: quantos depósitos serão necessários

Mensagem por Baltuilhe Ter 06 Abr 2021, 12:25

Boa tarde!

Dados:
PMT = $280,00
i = 5% a.m.
n = ?

Deseja:
PMT = $14.253,54
n = 5 saques semestrais
k = 5 meses de carência

Primeiro, calcular o valor da taxa semestral equivalente:
[latex]1+i_s=(1+i_m)^6[latex]
[latex]1+i_s=(1+5\%)^6=1,05^6[latex]
[latex]i_s=1,05^6-1[latex]
[latex]i_s\approx 34,0096\%\;\text{a.s.}[latex]

Segundo, calcular o valor a ser depositado para obter os saques. Como os saques serão semestrais, a fórmula entregaria o valor a ser depositado 6 meses antes.
Como quer somente 5 meses, terá que 'ajustar' a fórmula para 1 mês. Então:
[latex]PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i_s\right)^{-n}}{i_s}\right]\cdot\left(1+i_m\right)^{1}[latex]
[latex]PV=14\,253,54\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+34,0096\%\right)^{-5}}{34,0096\%}\right]\cdot\left(1+5\%\right)^{1}[latex]
[latex]PV=14\,253,54\cdot\left(\dfrac{1-1,340096^{-5}}{0,340096}\right)\cdot\left(1,05\right)[latex]
[latex]PV\approx 33\,823,91[latex]

Agora, com o valor a ser obtido, e conhecidos os depósitos de $280 e a taxa mensal, fica fácil encontrar a quantidade de depósitos:
[latex]FV=PMT\cdot\left[\dfrac{\left(1+i_m\right)^{n}-1}{i_m}\right][latex]
[latex]33\,823,91=280\cdot\left[\dfrac{\left(1+5\%\right)^{n}-1}{5\%}\right][latex]
[latex]\dfrac{33\,823,91}{280}=\dfrac{1,05^{n}-1}{0,05}[latex]
[latex]1,05^{n}-1=\dfrac{0,05\cdot 33\,823,91}{280}[latex]
[latex]n=\dfrac{\log\left(\dfrac{0,05\cdot 33\,823,91}{280}+1\right)}{\log\left(1,05\right)}[latex]
[latex]n\approx 40[latex]

Espero ter ajudado!

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