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Princípio de Indução

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Resolvido Princípio de Indução

Mensagem por Perceval Qui 01 Abr 2021, 15:14

Prove que [latex]3^n\geq n^3[/latex] para todo n inteiro positivo.


Última edição por Perceval em Sex 02 Abr 2021, 06:38, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Princípio de Indução

Mensagem por SilverBladeII Qui 01 Abr 2021, 22:49

Considere a função [latex]f(x)=x^3-3x^2-3x-1[/latex]
Veja que
[latex]f'(x)=3x^2-6x-3,[/latex] 
de raizes 
[latex]1\pm\sqrt{2}<3,[/latex]
de modo que [latex]f'[/latex] é positivo, portanto [latex]f[/latex] é crescente, para [latex]x>3[/latex].
Ora, [latex]f(4)=3>0,[/latex] de forma que [latex]f(x)>0[/latex], para [latex]x\geq 4[/latex], ou seja, 
[latex]2k^3>k^3>3k^2+3k+1,[/latex] para [latex]k\ge 3[/latex]
3>1 ok
9>8, ok
27=27, ok
Suponha [latex]3^k\geq k^3[/latex], para [latex]k\geq 4[/latex], então
[latex]\begin{align*}3^{k+1}&\geq 3k^3\\&=k^3+2k^3\\&>k^3+3k^2+3k+1\\&=(k+1)^3\end{align*}[/latex]
que é o que queríamos.


Mano, não consegui pensar numa forma elementar (as raizes do polinomio cubico não são bonitas) de fazer
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