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Ortocentro

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Mensagem por Perceval Qua 31 Mar 2021, 08:43

Seja H o ortocentro do ABC, como na figura abaixo. Seja X a reflexão de H sobre BC e Y a reflexão sobre o ponto médio de BC.
Ortocentro D+aaI5O9RnWZAAAAAElFTkSuQmCC
(a) Mostre que X está no circuncírculo do triângulo ABC.
(b) Mostre que AY é diâmetro do circuncírculo do triângulo ABC.
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Mensagem por SilverBladeII Qua 31 Mar 2021, 19:32

Sejam [latex]H_a, H_b, H_c[/latex] os pés das alturas relativas aos vértices A, B, C, respectivamente, e [latex]M[/latex] o ponto médio de [latex]BC[/latex].
Vamos olhar para os pontos X e Y sob outra perspectiva:
Defina X como a interseção de AH com o circuncírculo que é diferente de A e Y como sendo a interseção de AO com o circuncírculo diferente de A, onde O é o circuncentro.
BAX olha para o mesmo arco que BCX, de modo que eles são iguais. Além disso, o quadrilátero formado por A, C, [latex]H_c[/latex] e [latex]H_a[/latex] é cíclico, de modo que BAX=HCB, e então [latex]HCH_a=H_aCX[/latex]. 
Então pelo caso ALA, [latex]\Delta HCH_a \equiv \Delta XCH_a[/latex], e então [latex]X[/latex] é a reflexão de [latex]H[/latex] por [latex]BC[/latex].


Por nossa definição, AY é diametro do circuncirculo. Do fato de O e H serem isogonais, [latex]BAH=OAC[/latex] e, portanto, 
[latex]YBC=YAC=OAC=BAH=HCB=HCM.[/latex]
Ora, [latex]HMC[/latex] e [latex]BMY[/latex] são OPV e [latex]BM=MC[/latex], então pelo caso LAAo temos [latex]\Delta MBY\equiv \Delta MCH[/latex], de modo que [latex]HM=MY[/latex] e [latex]Y[/latex] é reflexo de [latex]H[/latex] por [latex]M[/latex]
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Mensagem por al171 Qua 31 Mar 2021, 22:04

Achei esse problema interessante e resolvi ele em vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=dANzR9zvdTA

Aposto que vai se interessar pois me utilizei de um artifício pouco mencionado: reta de Euler.
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