[Resolvido] Polinômios-Relações de Girard

por Mazy Qui 29 Set 2011, 18:40

As raízes da equação de coeficientes reais x³+ax²+bx+c=0 são inteiras, positivas e consecutivas. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então a²+b²+c² é igual a:

resp: 193

por rihan Qui 29 Set 2011, 19:35

( 1 ) raízes:

x1 = r-1

x2 = r

x3 = r+1

( 2 ) Soma dos produtos de cada uma das combinações das raízes apanhadas de 1 em 1

(r-1) + (r) + (r+1) = 3r = -a (relações de Viète-Girard)

( 3 ) soma quadrados:

(r-1)²+(r)²+(r+1)² = r² + 1 - 2r + r² + r² + 1 + 2r = 3r² + 2 = 14

3r² =12

r² = 4

r = ±2 => (dado do problema: positivas) =>

x2 = 2

x1 = 1

x3 = 3

a = -3r = -6 (2)

( 4 ) Soma dos produtos de cada uma das combinações das raízes apanhadas de 3 em 3

1*2*3 = -c (relações de Viète-Girard)

c = 2 - 2³

c = -6

(5) Soma dos produtos de cada uma das combinações das raízes apanhadas de 2 em 2

1*2 + 1*3 + 2*3 = b

b = 11

==>

a² + b² + c² = (-6)² + 11² + (-6)² = 36 + 121 + 36

a² + b² + c² = 193

E vamos lá !