Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Pontos de uma circunferência

Ir em baixo

Pontos de uma circunferência Empty Pontos de uma circunferência

Mensagem por Gustavo SDM Sex 19 Mar 2021, 15:41

Considere todos os pontos de coordenadas (x,y) que pertencem à circunferência de equação x^2 + y^2 -6x -6y +14 = 0

Determine:

a) o maior valor possível de x^2 + y^2

b) o maior valor possível de y/x

c) o maior valor possível de x + y

Gabarito:

a) 22 - 12(2)^1/2

b) 9/5 + (2(14)^1/2)/5

c) 6 + 2(2)^1/2

https://uploaddeimagens.com.br/imagens/qTThZuU

Gustavo SDM
iniciante

Mensagens : 4
Data de inscrição : 17/02/2021

Voltar ao Topo Ir em baixo

Pontos de uma circunferência Empty Re: Pontos de uma circunferência

Mensagem por evandronunes Qui 08 Abr 2021, 02:10

a)  Completando os quadrados, a equação da circunferência será [latex](x-3)^{2} + (y-3)^{2} = 2^2[/latex], portanto o centro é o ponto C(3, 3) e o raio é igual a 2.

Dado um ponto P(x, y) qualquer da circunferência, seja o triangulo retângulo formado pelos catetos de comprimentos x e y, com hipotenusa OP, onde O é a origem do plano cartesiano.
Pontos de uma circunferência Tri_re10
Pelo Teorema de Pitágoras temos que [latex]x^{2} + y^{2} = (OP)^{2}[/latex]. Veja que [latex]x^{2} + y^{2}[/latex] será máximo quando OP for o maior segmento possível. Não é difícil de demonstrar que isso ocorre quando OP passa pelo ponto C.
Pontos de uma circunferência Figura10
Pela figura acima, temos que OC é a diagonal de um quadrado de lado 3, logo OC= [latex]3\sqrt{2}[/latex]. Como CP = 2, vem que OP = [latex]2+3\sqrt{2}[/latex]. Portanto:

[latex]x^{2} + y^{2} = (2+3\sqrt{2})^{2}[/latex]

[latex]x^{2} + y^{2} = 22+12\sqrt{2}[/latex]


b)      Veja na figura abaixo que podemos escrever [latex]\frac{y}{x}[/latex] como sendo a tangente do ângulo [latex]\alpha[/latex], ou seja, [latex]\frac{y}{x}=tg(\alpha)[/latex].
Pontos de uma circunferência Tri_re11
 

Assim, teremos [latex]\frac{y}{x}[/latex] máximo, quando o ângulo [latex]\beta[/latex], formado pelo segmento OP com o eixo x, for máximo.
E isso ocorre quando OP é tangente a circunferência no ponto P, como descrito na figura abaixo.

 Pontos de uma circunferência Figura11

Vamos traçar o segmento OC e chamar o ângulo POC de [latex]\delta[/latex] Assim, temos que [latex]\beta = \delta + 45^{o}[/latex].

Pontos de uma circunferência Figura13
 

Então, temos pela tangente da soma de dois arcos:
 
[latex]\frac{y}{x}=tg(\beta)=tg(\delta + 45^{o})=\frac{tg(\delta)+tg(45^{o})}{1-tg(\delta).tg(45^{o})}[/latex]
 
Pelo Teorema de Pitágoras no triangulo POC, temos que [latex]OP^{2} + 2^{2} = (3\sqrt{2})^{2}[/latex], o que implica OP = [latex]\sqrt{14}[/latex].
 
Logo, [latex]tg(\delta)=\frac{2}{\sqrt{14}}[/latex].
 
Portanto,
 
[latex]\frac{y}{x}=\frac{tg(\delta)+tg(45^{o})}{1-tg(\delta).tg(45^{o})}[/latex]

[latex]\frac{y}{x}=\frac{\frac{2}{\sqrt{14}}+1}{1-\frac{2}{\sqrt{14}}.1}[/latex]

[latex]\frac{y}{x}=\frac{9}{5}+\frac{2\sqrt{14}}{5}[/latex]


c)  Perceba na figura abaixo que a soma x + y é a metade do perímetro de um retângulo de lados x e y. A soma de x + y é máximo quando eles delimitam uma área máxima, ou seja x=y, no extremo da diagonal que fica mais longe da origem



Pontos de uma circunferência Tri_re12 


Seja CN um segmento paralelo ao eixo x e PK paralelo ao y, como na figura abaixo.

Pontos de uma circunferência Imagem10
 
Temos no triangulo retangulo PCK que [latex]sen(45^{o})=\frac{PK}{2}[/latex], logo [latex]PK=\sqrt{2}[/latex].

 
Como a distancia de K ao eixo x é 3, vem que x [latex]=3+\sqrt{2}[/latex].

Portanto,
 
x + y = [latex]=3+\sqrt{2}+3+\sqrt{2}[/latex]

x + y = [latex]6+2\sqrt{2}[/latex]


Última edição por evandronunes em Qui 08 Abr 2021, 23:41, editado 1 vez(es)

evandronunes
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 179
Data de inscrição : 10/01/2015
Idade : 42
Localização : ceilandia

Medeiros gosta desta mensagem

Voltar ao Topo Ir em baixo

Pontos de uma circunferência Empty Re: Pontos de uma circunferência

Mensagem por Medeiros Qui 08 Abr 2021, 04:19

Evander

gostei da sua resolução. Apenas não concordo com este trecho: "Não é difícil demonstrar que fixando um valor para a soma x + y a maior diagonal possível é quando esse retângulo for um quadrado, ou seja, x = y." Isto é válido para a área, não para a diagonal.

Contudo continua a ser o mesmo ponto pois (x+y) é máximo quando eles delimitam uma área máxima, ou seja x=y -- no extremo da diagonal que fica mais longe da origem.
Medeiros
Medeiros
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 8674
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 69
Localização : Santos, SP, BR

Voltar ao Topo Ir em baixo

Pontos de uma circunferência Empty Re: Pontos de uma circunferência

Mensagem por evandronunes Qui 08 Abr 2021, 12:32

Medeiros,

Concordo que existem mais problemas de máximos e mínimos envolvendo perímetros e áreas do que perímetros e lados de figuras, mas existem.

Não utilizei área, pois não vi relação com a questão.

O que eu falei acima pode ser relacionado ao seguinte exercício:

Seja um triangulo retângulo de catetos medindo a e b. Dado que a + b é constante, calcule os valores de a e b para que a hipotenusa tenha o maior comprimento possível.

evandronunes
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 179
Data de inscrição : 10/01/2015
Idade : 42
Localização : ceilandia

Voltar ao Topo Ir em baixo

Pontos de uma circunferência Empty Re: Pontos de uma circunferência

Mensagem por Elcioschin Qui 08 Abr 2021, 15:42

De qualquer forma a solução foi muito boa! Parabéns evandronunes.
Elcioschin
Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 60311
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 74
Localização : Santos/SP

Voltar ao Topo Ir em baixo

Pontos de uma circunferência Empty Re: Pontos de uma circunferência

Mensagem por Medeiros Qui 08 Abr 2021, 20:07

Evandro

é justamente isso o que estou lhe dizendo.

Considere o triângulo retângulo, que vc usa como exemplo, com catetos:
a) 3 e 1 -----> 3 + 1 = 4 -----> diagonal =˜ 3,16
b) 2 e 2 -----> 2 + 2 = 4 -----> diagonal =˜ 2,86
claramente o quadrado tem diagonal menor, o que contraria a sua assertiva.
Medeiros
Medeiros
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 8674
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 69
Localização : Santos, SP, BR

Voltar ao Topo Ir em baixo

Pontos de uma circunferência Empty Re: Pontos de uma circunferência

Mensagem por evandronunes Qui 08 Abr 2021, 23:37

Medeiros,

Vendo o exemplo que você colocou, fui revisar os rascunhos que eu tinha feito para a questão. E realmente cometi um erro bem infantil. 

Escrevi a diagonal na forma d = [latex]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/latex] e x + y = K, fiz a substituição e obtive que d = [latex]\sqrt{2x^{2}-2Kx+K^{2}}[/latex]

Fiz a derivada da expressão de dentro da raiz e encontrei o valor igualando a zero, só que esse valor encontrado não representa um máximo, na verdade é um mínimo, bastava eu ter olhado que a função quadrática tem concavidade voltada para cima.

O exemplo que eu tinha colocado deve ser reescrito, assim:

Seja um triangulo retângulo de catetos medindo a e b. Dado que a + b é constante, calcule os valores de a e b para que a hipotenusa tenha o menor comprimento possível.

Vou corrigir o exercício.

Obrigado pela correção sugerida!

evandronunes
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 179
Data de inscrição : 10/01/2015
Idade : 42
Localização : ceilandia

Medeiros gosta desta mensagem

Voltar ao Topo Ir em baixo

Pontos de uma circunferência Empty Re: Pontos de uma circunferência

Mensagem por Medeiros Qui 08 Abr 2021, 23:48

Evandro

seu engano não atrapalhou em nada o entendimento da resposta -- aliás, resolução muito boa, já havia dito, e didaticamente explicada.

somente fiz a observação para que algum colega que veja não corra o risco de tomar aquele texto por teorema.

um abraço!
Medeiros
Medeiros
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 8674
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 69
Localização : Santos, SP, BR

Voltar ao Topo Ir em baixo

Pontos de uma circunferência Empty Re: Pontos de uma circunferência

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Voltar ao Topo Ir em baixo

Voltar ao Topo


 
Permissão deste fórum:
Você não pode responder aos tópicos neste fórum