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Prove que 161616...16 (100 dígitos) não é um quadrado p

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Mensagem por Arthuuur2811 Seg 22 Fev 2021, 12:03

Eu estou iniciando no meu treinamento para as olimpíadas e eu me deparei com esta questão, tem alguma resolução em aritmética modular? 

Eu fatorei 16 . 10101...1 (99 dígitos)

Sei que 16 é quadrado perfeito, mas como eu provo que 10101...1 não é quadrado perfeito?

Desde já, agradeço.

Arthuuur2811
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Mensagem por SilverBladeII Ter 23 Fev 2021, 01:15

Como o número tem 100 dígitos, há exatamente 50 digitos 6 e 50 digitos 1.
Assim, [latex]161616...16\equiv 50\cdot 6+50\cdot 1\equiv 2 \pmod3[/latex]
Mas todo quadrado perfeito deixa resto 1 ou 0 na divisão por 3, então tal número não pode ser quadrado perfeito.

Usamos que o resto de um número na divisão por 3 é o mesmo resto da soma dos digitos da representação em base 10 do mesmo número na divisão por 3.

Para provar que 101...01 não é quadrado perfeito, vc pode usar a mesma tecnica. Fica como exercício

SilverBladeII
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