Lugar Geométrico

que diabo de enunciado mais mal escrito!

Primeiro que se foi dado o triângulo ABC então, obviamente, já estão dados seus três vértices: são o A, o B e o C.

Com certeza o L.G. do vértice A é uma circunferência pois TODO triângulo é inscritível.

Porém SE o enunciado dissesse: "no triângulo ABC são fixados os vértices B e C e dada suas distâncias até o vértice A; então o L.G. do vértice A é:". Aqui neste caso, sim, a resposta é o item c, interseção de dois arcos de circunferência. Note que não tem importância alguma a informação sobre o tipo de ângulo do vértice A -- pode ser agudo, obtuso ou reto, só não pode ser raso.

Eu acredito que são conhecidos apenas os vértices B, C e o ângulo  (mas não a posição do vértice A

Vamos supor que  = 60º e escolher 3 triângulos que atendem, num sistema xOy.

Falta demonstrar matematicamente:

Se for, então, como comedidamente diz o Élcio, temos as posições fixas de dois vértices (B e C), a medida do ângulo  e queremos definir a posição do vértice A.

O lugar geométrico (L.G.) do vértice A é o arco capaz de ° do segmento BC. O Euclides já mostrou aqui como construir esse arco e agora vou repetir.



1) traçamos a mediatriz do segmento BC (M é o ponto médio de BC).

2) queremos um ângulo central igual a 2Â. Para isso, em B (ou em C) construímos um ângulo (90° - Â) e traçamos um segmento de B até encontrar a mediatriz no ponto O. Não é necessário mas por didática tracei o segmento CO, que é igual a BO. Resulta que o ângulo BÔC = 2Â.

3) Com centro em O e raio OB (= OC) traçamos o arco de circunferência BC no semiplano que contém o centro (em vermelho).

Este arco em vermelho é o arco capaz de ° do segmento BC e, consequentemente, é o pedido lugar geométrico do vértice A, pois como o ângulo central mede 2 (por construção) qualquer ângulo inscrito neste arco mede a metade do central, ou seja, o dado ângulo Â.

Nesta situação a resposta é item b) um arco de circunferência e, de novo, não bate com o gabarito.

atenção: nesta construção, qualquer ângulo partindo do arco em preto que completa a circunferência NÃO mede Â, ele é o suplementar do ângulo Â.

Medeiros

A minha figura e a sua bela demonstração provaram apenas para A acima do eixo x

Mas existe um outro arco capaz idêntico, com A abaixo do eixo x (em azul).

Assim, o gabarito está certo:

É verdade, Élcio. Muito bem observado.

É possível construir dois arcos capazes, um em cada semiplano da reta BC.

Mancada minha não perceber isso. E vergonha minha meu comportamento arrogante em culpar o enunciado por não ter percebido seu alcance. O pior é que conheço e concordo com a filosofia do "antes de dizer não dá, pense num modo de conseguir";  e não fiz isto.

Obrigado pela correção, pela resposta completa e por restabelecer a verdade de que o gabarito está correto.