Indução finita - Russia 2010 - Prove que 2! ...

(Russia 2010) - Prove que 2!4!6! · · ·(2n)! ≥ (n + 1)!^n.

1. Para [latex]n=1[/latex], temos
   
   [latex](2\cdot1)!=2=(1+1)!^1[/latex];
   
   
2. Suponha válido para [latex]n=k[/latex], i.e.
   [latex]2!\cdot4!\cdot\dots\cdot(2k)!\geq (k+1)!^k[/latex];
   
   
3. Temos, então, por hipótese, que 
   
   [latex]2!\cdot4!\cdot\dots\cdot(2k)!\cdot(2(k+1))!\geq (k+1)!^k(2(k+1))![/latex],
   mas perceba que
   
   [latex]\begin{align*}(2(k+1))!&=(k+1)!\cdot(k+2)\cdot(k+3)\cdot\dots\cdot(2k+2)\\&\geq(k+1)!\cdot\underbrace{(k+2)\cdot(k+2)\cdot\dots\cdot(k+2)}_{k+1 \text{ vezes}}\\&=(k+1)!\cdot(k+2)^{k+1},\end{align*}[/latex]
   de forma que
   
   [latex]\begin{align*}(k+1)!^k(2(k+1))!&\geq(k+1)!^k\cdot(k+1)!\cdot(k+2)^{k+1}\\&=(k+2)!^{k+1},\end{align*}[/latex]
   que é o que queríamos.
   

gabriel_balbao escreveu:Pessoal, muito obrigado! Deve ter havido algum erro em relação ao código do latex do Silver, mas conseguiram sanar minhas dúvidas!