Função inversível

por natanlopes_17 Qua 03 Fev 2021, 11:15

Bom dia a todos !! Então, me deparei com uma questão que afirmava isso:

[latex]Se \: f(x)=\frac{1+3x}{x+3},\; com\; x\varepsilon \mathbb{R}\; x\neq -3[/latex] é uma função inversível.....

Não vou colocar o resto da questão pois é muito fácil e essa não é a dúvida.

Meu questionamento é a cerca de ele afirmar que ela é invertível quando a condição para isso é F(X) ser bijetora, porém não tem como ela ser sobrejetora pois tem uma condição para x , não ser -3, e isso ficou confuso pq a regra diz que "Para todo y existe um x (sem restrições)''

Desde já agradeço.

por **Emanuel Dias** Qua 03 Fev 2021, 15:22

Uma pergunta: a função não seria (1+3x)/x-3?

por natanlopes_17 Qua 03 Fev 2021, 15:34

@Emanuel Dias escreveu:
Uma pergunta: a função não seria (1+3x)/x-3?

SIM KKKKKK eu que fui bisonho e copiei errado, foi mal.

por **Emanuel Dias** Qua 03 Fev 2021, 15:42

Essa função é sobrejetora sim.

Vamos provar.

Ela restringe o domínio, IR-{3}, entretanto, como x não pode ser 3, f(3) não está definido.

Isso faz com que a função seja sobrejetora, pois para todo elemento do domínio tem associação no contradomínio, o único que não tem x=3, está fora do domínio.

por **Emanuel Dias** Qua 03 Fev 2021, 15:44

O gráfico vai ajudar a notar isso, note que 3 não está no domínio nem é possui imagem, x=3 é assíntota vertical.

por natanlopes_17 Qua 03 Fev 2021, 15:51

então quando há restrição no enunciado logo tenho que pensar que ele não estará no domínio? Então como faço para provar de forma efetiva que f(x) é sobrejetora ?

Exemplo: [latex]\frac{1-8x}{x^{2}-4}[/latex]

por **Emanuel Dias** Qua 03 Fev 2021, 16:11

x é diferente de +-2 isso significa que o domínio é IR-{+-2}

sabemos que f(x)=+-2 não tem associação, vamos descobrir a imagem da função.
quando x se aproxima de 2, o denominador se aproxima de 0 e o numerador de -15, a função explode para - inf.
quando x se aproxima de-2, o denominador se aproxima de 0 e o numerador de +15, a função explode para + inf.

Isso é provado formalmente calculando os limites quando x aproxima-se e + e - 2.

Domínio IR-{+-2}

Imagem IR.

Isso parece confuso, mas ambos os conjuntos possuem mesma cardinalidade.