Função inversa/módulo

Seja a função f em R definida por [latex]f(x)= 2x+ \left | x + 1 \right |- \left | 2x-4 \right |[/latex]. Determine a função inversa de f. Calcule [latex]f(42)^{-1}[/latex]


Resposta: [latex]f(x)^{-1}= \begin{Bmatrix} x-5 \rightarrow x\geqslant 7 & & \\ \frac{x+3}{5}\rightarrow -8\leq x< 7& & \\ \frac{x+5}{3}\rightarrow x< -8& & \end{Bmatrix}[/latex] e  [latex]f(42)^{-1}= 37[/latex]


Obs: Sei como calcular as funções inversas e o [latex]f(42)^{-1}= 37[/latex]
, porém não consigo entender como faço para chegar no [latex]x\geq 7, -8\leq x< 7 , x< -8[/latex]. 

@Tâmara Mariz escreveu:Obs: Sei como calcular as funções inversas e o [latex]f(42)^{-1}= 37[/latex]
, porém não consigo entender como faço para chegar no [latex]x\geq 7, -8\leq x< 7 , x< -8[/latex]. 

você já achou as raízes {-1, 2}, os intervalos e as inversas conforme os intervalos.

agora substitua x=-1 na f(x) e encontre f(x) = -8. Como esse intervalo era definido como x<-1, a respectiva inversa será para x < -8.

idem em x >= 2 na f(x), achando f(x) = 7. E como nesse intervalo devíamos ter x >= 2, a inversa terá x >= 7.

o intervalo do meio sai automaticamente.