Polinômio Escola Naval 189

por Matheus Pereira Ferreira Dom 24 Jan 2021, 17:50

o resto da divisão de 1+x+x^2+...x^100 por x^2-1 é igual

a) 0 b)x+1 c)50x+50 d)50x+51 e) 51x+50
gab= b) x+1

por **Elcioschin** Dom 24 Jan 2021, 18:24

Temos uma PA com a1 = 1 , q = x , n = 101

S = a1.(q¹⁰¹ - 1)/(q - 1) ---> S = (x¹⁰¹ - 1)/(x - 1)

Usando Briott-Ruffini para a raiz x = 1

._|1 . 0 . 0 . 0 . 0 .-1
.1|1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 0 ---> Resto = 0

Esquisito: R(x)/(x² 1) = 0/(x² - 1) = 0

por **Giovana Martins** Dom 24 Jan 2021, 21:14

Uma possível saída (cujo resultado final nada tem a ver com o gabarito postado):

Um polinômio p(x), ao ser dividido por um polinômio grau n deixa como resto um polinômio de grau n-1 ou menor.

Assim, temos p(x)=d(x)q(x)+r(x), com d(x)=x²-1. Sendo d(x) um polinômio de grau 2, tem-se que r(x) é da forma r(x)=ax+b.

Para d(x)=0, x=-1 ou x=1. Daí vem:

Sendo x=-1: 1-1+1-1+...+1=1=q(x)[(-1)²-1]-a+b

Sendo x=1: 1+1+1+...+1=101=q(x)[(1)²-1]+a+b

De -a+b=1 e a+b=101, (a,b)=(50,51). Portanto, r(x)=50x+51.

Se eu não estiver enganada, as questões da Escola Naval tem alternativas. Se eu estiver certa, pelas regras do fórum você deveria ter postado essa informação junto com o enunciado.

por Matheus Pereira Ferreira Qua 27 Jan 2021, 10:09

Giovana em que parte das regras diz isso? pois não vi tal informação , mas estarei colocando as alternativas e a resolução da minha apostila a qual eu não entendi e busquei ajuda aqui no forum

por **Elcioschin** Qua 27 Jan 2021, 10:15

Ver

do fórum, no alto desta página:

XI- Não use letras maiúsculas para o título ou o corpo do texto da questão. Quando uma questão possui alternativas estas FAZEM PARTE da questão e devem ser postadas integralmente. Da mesma forma não deixe de postar a resposta esperada, se a conhecer. Isso será de valia para quem tentar ajudá-lo(a).

E, se tiver a solução, poste também

por Matheus Pereira Ferreira Qua 27 Jan 2021, 10:23

a resolução é a 189

por **Vitor Ahcor** Qua 27 Jan 2021, 11:21

Matheus Pereira Ferreira escreveu: a resolução é a 189

Matheus, a resolução da sua apostila está errada. Veja:

Suponha 1+x+x²+...+x^100 ≡ Q(x)*(x²-1) + (x+1)

x=1 --> 101 = Q(1)*0 + 2 (Abs!)

O erro foi assumir que o termo independente de Q'(x) é 0, mas nada garantia isso.

(*) Uma outra solução:

x²-1 ≡ 0 mod (x²-1) ⇒ x² ≡ 1 mod(x²-1)

Daí,

x^n ≡ 1 mod(x²-1), se n é par

x^m ≡ x mod(x²-1), se m é ímpar

Como em x^0 + x + x² + x^3 + ... + x^100 há 51 termos de expoentes pares e 50 ímpares, então o resto é 51 + 50x.