Análise Combinatória

Num lote de 20 lâmpadas se encontram 4 lâmpadas queimadas. As lâmpadas são testadas até que as 4 lâmpadas sejam encontradas. Qual a probabilidade de que isso ocorra no décimo teste?

20 lampadas, 4 queimadas (Q) e 16 funcionando (F)

Os testes podem parar: no 5° teste ou no 6° teste ou no 7° teste e assim por diante.

Em todos os casos, a ultima lâmpada a ser testada obrigatoriamente deve estar queimada, portanto fixaremos a ultima lâmpada e permutaremos o resto
EX:
QQQQ      ---> permutaremos as 3 primeiras letras
= (3!) / (3! * 0!)

FQQQQ      ---> permutaremos as 4 primeiras letras
= (4!) / (3! * 1!)

FFQQQQ      ---> permutaremos as 5 primeiras letras
= (5!) / (3! * 2!)

FFFQQQQ      ---> permutaremos as 6 primeiras letras
= (6!) / (3! * 3!)

FFFFQQQQ      ---> permutaremos as 7 primeiras letras
= (7!) / (3! * 4!)

...


FFFFFFFFFFFFFFFFQQQQ      ---> permutaremos as 19 primeiras letras
= (19!) / (3! * 16!)



somando todas essas permutações obteremos o número de elementos do espaço amostral

Perceba que essas permutações formam uma progressão aritimetica de 3° ordem, que por sua vez são os números tetraédricos:

QQQQ                                       == 1       ---> a1
FQQQQ                                     == 4       ---> a2
FFQQQQ                                   == 10     ---> a3
FFFQQQQ                                 == 20     ---> a4
FFFFQQQQ                               == 35     ---> a5

...

FFFFFFFFFFFFFFFFQQQQ     == 969 ---> a17

A soma dos n primeiros termos de uma sequência de números tetraédricos é dado por:

(1 / 24) * (n) * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)

logo, o número de elementos do espaço amostral é:


(1 / 24) * (17) * (17 + 1) * (17 + 2) * (17 + 3) == 4845

n(s) == 4845


evento A ---> parar a testagem das lâmpadas exatamente no 10° teste
FFFFFFQQQQ      ---> permutamos as 9 primeiras letras
= (9!) / (3! * 6!) == 84


probabilidade de que os testes parem na 10° tentativa é dado por:
84 / 4845

ou

28 / 1615 ---> dividindo numerador e denominador por 3

ou aproximadamente

0,0173 = 1,73 %

Outro jeito de calcular o espaço amostral é fazer 20!/(16!*4!). Pq é a permutação das 20 lâmpadas, sendo 16 e 4 iguais.