Polinômio simétrico (AJUDA)

Encontre os 3 possíveis valores para x.
x+y+z=a
[latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2}[/latex]
[latex]x^{3}+y^{3}+z^{3}=a^{3}[/latex]



Vi pelo polinômio simétrico mas queria saber se exista alguma forma mais simples de resolver esse tipo de sistema.

Resolva por Cramer, calculando o determinante principal ∆ e os determinantes ∆x, ∆y, ∆z

Para resolver cada determinante use  Matriz de Vandermonde

nossa !! não havia pensado nessa possibilidade, muito obrigado !!!

Elcio, o problema é que o sistema não é linear, então acho que não dá pra aplicar Cramer.

Uma outra ideia que pode ser usada é criar um polinômio de raízes x,y e z. De tal modo:

p(w) = w³ - (x+y+z)*w² + (xy+xz+yz)*w - xyz

i) x+y+z = a ⇒ (x+y+z)² = a² ⇒ x²+y²+z² +2*(xy+xz+yz) = a² ⇒ 

⇒ xy+xz+yz = (a²-b²)/2


ii) Usando a fatoração clássica x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)*(x²+y²+z² - xy - xz - yz)

 ⇒ xyz = (a³-ab²)/2

Logo p(w) = w³ - aw² + [(a²-b²)/2]*w + (ab²-a³)/2

Por inspeção p(a) = 0, então uma das raízes é a. Agora, basta dividir p(w) por w-a e as outras duas raízes serão ±­√[(b²-a²)/2].

∴ (x,y,z) = (a, √[(b²-a²)/2], - √[(b²-a²)/2]).