Geometria Plana- Cevianas
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Geometria Plana- Cevianas
por Fëanor Sáb 23 Jan 2021, 16:19
Em um triângulo ABC, BE é mediana e O é o ponto médio de BE. AO intersecta BC em D e CO
intersecta AB em F. Se AO = 12, determine o valor de OD.
intersecta AB em F. Se AO = 12, determine o valor de OD.
Última edição por Fëanor em Sáb 23 Jan 2021, 23:19, editado 1 vez(es)
Fëanor- Iniciante
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Re: Geometria Plana- Cevianas
por Elcioschin Sáb 23 Jan 2021, 17:44
Como o triângulo é qualquer vou supor triângulo retângulo e usar GA:
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Geometria Plana- Cevianas
por Vitor Ahcor Sáb 23 Jan 2021, 17:46
Uma ideia possível:
i) Seja a área do triângulo AOE igual a S : [AOE] = S
ii) Os triângulos OEC e AOE tem bases e alturas iguais, logo têm as mesmas áreas: [OEC] = S
iii) Analogamente, [AOB] = [BOC] = S
iv)[ABC] = [BOC] + [BOA]+[AOE]+[EOC] = 4S
v) Como os triângulos BOC e BAC possuem a base comum BC, podemos dizer que:
[ABC]/AD = [BOC]/OD →
→ 4S/(12+OD) = S/OD →
→ OD = 4.
i) Seja a área do triângulo AOE igual a S : [AOE] = S
ii) Os triângulos OEC e AOE tem bases e alturas iguais, logo têm as mesmas áreas: [OEC] = S
iii) Analogamente, [AOB] = [BOC] = S
iv)[ABC] = [BOC] + [BOA]+[AOE]+[EOC] = 4S
v) Como os triângulos BOC e BAC possuem a base comum BC, podemos dizer que:
[ABC]/AD = [BOC]/OD →
→ 4S/(12+OD) = S/OD →
→ OD = 4.
____________________________________________
Cha-la head-cha-la
Vitor Ahcor- Monitor
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Re: Geometria Plana- Cevianas
por Fëanor Sáb 23 Jan 2021, 23:18
Minha tentativa de resolução
Pelo teorema de ceva
(CE*AF*BD)/(EA*FB*DC)=1
Como EA=CE
AF/FB=DC/BD
Aplicando o teorema de Menelaus no triângulo ADC e segmento BE
(AE*BC*OD)/(EC*BD*AO)=1
BC/BD=AO/OD
Aplicando o teorema de Menelaus no triângulo BAE e segmento CF
(BF*AC*OE)/(AF*CE*BO)=1
Como AC=2CE e OE=BO
AF/BF=2
Logo
DC/BD=2
BC=DC+BD=3BD
3BD/BD=AO/OD
3=AO/OD
OD=AO/3
OD=12/3
OD=4
Pelo teorema de ceva
(CE*AF*BD)/(EA*FB*DC)=1
Como EA=CE
AF/FB=DC/BD
Aplicando o teorema de Menelaus no triângulo ADC e segmento BE
(AE*BC*OD)/(EC*BD*AO)=1
BC/BD=AO/OD
Aplicando o teorema de Menelaus no triângulo BAE e segmento CF
(BF*AC*OE)/(AF*CE*BO)=1
Como AC=2CE e OE=BO
AF/BF=2
Logo
DC/BD=2
BC=DC+BD=3BD
3BD/BD=AO/OD
3=AO/OD
OD=AO/3
OD=12/3
OD=4
Fëanor- Iniciante
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