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Função Quadrática

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Resolvido Função Quadrática

Mensagem por BatataLaranja345 Sab 23 Jan 2021, 10:39

Bom dia amigos e amigas do fórum! Gostaria de saber quem poderia me ajudar nessa questão! Segue:

Determine o valor de "a" tal que as raízes da equação x² - (3a+1).x + (2a²-3a-2) = 0 são reais e a soma dos seus quadrados é mínima.
a) -6/5
b) -11/5
c) -9-6√2
d) -9+6√2
e) 0

Resp.: D
Quem puder me ajudar nessa, agradeço desde já!! cheers


Última edição por BatataLaranja345 em Sab 23 Jan 2021, 13:39, editado 2 vez(es)
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Resolvido Re: Função Quadrática

Mensagem por Elcioschin Sab 23 Jan 2021, 11:12

Seja r, s as raízes. Relações de Girard:

r.s = 2.a² - 3.a - 2 ---> I

r + s = 3.a + 1 ---> (r + s)² = (3.a + 1)² --->

r² + s² + 2.(r.s) = 9.a² + 6a + 1  ---> II

I em II ---> r² + s² + 2.(2.a² - 3.a - 2) = 9.a² + 6a + 1  - -->

r² + s² = 5.a² + 12.a + 5 ---> Função do 2º grau: parábola

O valor mínimo da função r² + s² ocorre no vértice da parábola.

Complete

Outra solução é derivar a função:(r² + s²)' = 10.a + 12 = 0 ---> a = - 6/5

Ou o gabarito está errado ou existe erro no enunciado
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Resolvido Re: Função Quadrática

Mensagem por BatataLaranja345 Sab 23 Jan 2021, 13:21

Então mestre Elcio, eu tenho a resolução aqui. Vou enviar pro senhor ver.

∆ = (3a+1)² - 4.1.(2a²-3a-2)
∆ = 9a²+6a+1-8a²+12a+8
∆ = a²+18a+9 ≥ 0  -----------> a ≤ -9-6√2  ou a ≥ -9+6√2

(r1)²+(r2)² = (r1+r2)²-2.r1.r2
(r1)²+(r2)² = (3a+1)-2(2a²-3a-2)
(r1)²+(r2)² = 5a²+12a+5

a(minimante) = (-12)/(2*5) = -1,2

y = 5a²+12a+5
a = -9-6√2 ≈ -17,5   ou   a = -9+6√2 ≈ -0,5

Logo, o mais próximo do minimante é o -9+6√2

Eu tenho essa resolução do meu livro onde está essa questão... porém, n entendi a resolução dele, por isso postei aqui. Espero que o senhor entenda.
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Resolvido Re: Função Quadrática

Mensagem por Elcioschin Sab 23 Jan 2021, 13:30

Eu não entendi a solução após a = - 1,2 = - 6/5
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Resolvido Re: Função Quadrática

Mensagem por BatataLaranja345 Sab 23 Jan 2021, 13:36

Eu tbm não entendi direito essa resolução desse livro...
Ele deve ter considerado que a = -6/5 é o mínimo dessa função, mas não o mínimo para que a soma dos quadrados seja mínima

Não entendi mesmo....
Mas obg mestre Elcio, pela ajuda e pelo seu tempo.
Abraços! cheers
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Resolvido Re: Função Quadrática

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