Analise Combinatoria - Principio Fundamental da Contagem

por ramahk Sex 23 Set 2011, 07:36

Enunciado: Cada pedra de domino e constituida de 2 numeros, As peças sao simetricas, de sorte que o par de numeros nao e ordenado.

a) Quantas peças diferentes podem ser formadas, se usarmos os numeros 0,1,2,3,4,5,6? (Resp: 28)
b) Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de domino se usarmos os numeros 0,1,2,3,...,n? (Resp: [(n+1)*(n+2)] / 2 )

O primeiro caso eu cheguei a 21 peças, fazendo 00;01;02...06; 10;11;12...ate 66, dando assim 42 agrupamentos, mas como existiam repetiçoes (00 e 10) cortei pela metade, e assim ficaram faltando 7 possibilidades

O segundo caso errei em decorrencia do erro no raciocinio ja no primeiro...porem, onde foi esse erro?

Rama" .·.

por **Adam Zunoeta** Sex 23 Set 2011, 08:48

Cada pedra de domino e constituida de 2 numeros, As peças sao simetricas, de sorte que o par de numeros nao e ordenado.

a) Quantas peças diferentes podem ser formadas, se usarmos os numeros 0,1,2,3,4,5,6? (Resp: 28)

Cada pedra tem dois números:
(...) (...)

No primeiro número temos 7 possibilidades --->{0,1,2,3,4,5,6}

No segundo temos 6 possibilidades ---> {1,2,3,4,5,6} ---> Fixamos um valor no primeiro número ---> Nesse caso foi o zero poderia ter sido qualquer um.

Então,

6*7=42

Dessa forma contamos (1,2) e (2,1) como sendo pares diferentes, o que no dominó não é, portanto devemos dividir o resultado por 2.

42/2=21

Agora devemos somar as peças que são iguais, ou seja: (0,0),(1,1)...(6,6)

No total temos 7

Portanto:

21+7=28

b) Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de domino se usarmos os numeros 0,1,2,3,...,n? (Resp: [(n+1)*(n+2)] / 2 )

Mesma ideia:

Seja "n" o número total então teremos (n-1) números a serem combinados.

n*(n-1) ---> Dividindo por 2

[n*(n-1)]/2

Agora somamos os "n" dominós iguais:

[n*(n-1)]/2 + n = [n*(n+1)]/2

por ramahk Sex 23 Set 2011, 09:36

Adam, vc e genial! Explicaçao perfeita, assim ate vo começa a achar que entendo combinatoria!

Muitissimo obrigado

Rama" .·.

por jailson costa leal Sáb 17 maio 2014, 17:25

amigo depois de muito tempo, mas vim corrigir essa ultima resposta.
no caso ai o 'n' é um número da sequência. mas para calcular o conjunto A(n), é necessário se somar o '0', sendo assim o conjunto fica n+1.
como na sua primeira resposta...
(n+1)*n, para as peças diferente, ou seja, que n possuem os mesmos números. mas neste caso a ordem dos números não altera a peça, então é necessário dividir por 2. [(n+1)*n]/2, ai estão todas as peças do dominó que não possuam os msm valores nas bandas. então é necessário adicionar (n+1) elementos a esse total, que corresponde às peças de msm valos nas bandas...ficando:
[(n+1)*n]/2+(n+1)=(n^2+2n+2)/2 utilizando produtos notáveis o resultado fica. [(n+1)*(n+2)]/2

por Dollynhovsky Qui 15 Jun 2017, 12:24

jailson costa leal escreveu:amigo depois de muito tempo, mas vim corrigir essa ultima resposta.
no caso ai o 'n' é um número da sequência. mas para calcular o conjunto A(n), é necessário se somar o '0', sendo assim o conjunto fica n+1.
como na sua primeira resposta...
(n+1)*n, para as peças diferente, ou seja, que n possuem os mesmos números. mas neste caso a ordem dos números não altera a peça, então é necessário dividir por 2. [(n+1)*n]/2, ai estão todas as peças do dominó que não possuam os msm valores nas bandas. então é necessário adicionar (n+1) elementos a esse total, que corresponde às peças de msm valos nas bandas...ficando:
[(n+1)*n]/2+(n+1)=(n^2+2n+2)/2 utilizando produtos notáveis o resultado fica. [(n+1)*(n+2)]/2

[(n+1)*n]/2+(n+1)=(n^2+3n+2)/2

Só isso mesmo ^~^

por matheus__borges Sáb 16 Jun 2018, 03:37

Vou dar uma enriquecida na letra b), está um pouco confusa:
Da letra a) tiramos o seguinte padrão:
0\rightarrow 7\\
1\rightarrow 6\\
2\rightarrow 5\\
3\rightarrow 4\\
4\rightarrow 3\\
5\rightarrow 2\\
6\rightarrow 1\\

De b):
0\rightarrow n+1\\
1\rightarrow n\\
2\rightarrow n-1\\
3\rightarrow n-2\\
4\rightarrow n-3\\
5\rightarrow n-4\\
6\rightarrow n-5\\
.\\
.\\
.\\
n\rightarrow n-(n-1)\\
\therefore \sum_{i=-1}^{n-1}n-i=n+1+n+n-1+n-2+n-3+n-4+n-5+n-6+...+n-(n-1)\\
a_1=n+1\\
r=-1\\
a_n=1\\
n_{e}=n+1\\
Sn=\frac{(a_1+a_n).n_e}{2}=\frac{(n+1+1).(n+1)}{2}

por @Grazi_elly Seg 20 Jul 2020, 15:48

Adam Zunoeta escreveu:Cada pedra de domino e constituida de 2 numeros, As peças sao simetricas, de sorte que o par de numeros nao e ordenado.

a) Quantas peças diferentes podem ser formadas, se usarmos os numeros 0,1,2,3,4,5,6? (Resp: 28)

Cada pedra tem dois números:
(...) (...)

No primeiro número temos 7 possibilidades --->{0,1,2,3,4,5,6}

No segundo temos 6 possibilidades ---> {1,2,3,4,5,6} ---> Fixamos um valor no primeiro número ---> Nesse caso foi o zero poderia ter sido qualquer um.

Então,

6*7=42

Dessa forma contamos (1,2) e (2,1) como sendo pares diferentes, o que no dominó não é, portanto devemos dividir o resultado por 2.

42/2=21

Agora devemos somar as peças que são iguais, ou seja: (0,0),(1,1)...(6,6)

No total temos 7

Portanto:

21+7=28

b) Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de domino se usarmos os numeros 0,1,2,3,...,n? (Resp: [(n+1)*(n+2)] / 2 )

Mesma ideia:

Seja "n" o número total então teremos (n-1) números a serem combinados.

n*(n-1) ---> Dividindo por 2

[n*(n-1)]/2

Agora somamos os "n" dominós iguais:

[n*(n-1)]/2 + n = [n*(n+1)]/2

Porque não podemos multiplicar 7 por 7 e depois dividir por 2? Eu sei que 49 não é divisível não por 2, mas eu queria saber porque não podemos usamos usar esse raciocínio.