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ANÁLISE COMBINATÓRIA

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Mensagem por Cristina Lins Sáb 02 Jan 2021, 23:17

Um mastro de 9 metros de comprimento será totalmente coberto por bandeiras. Temos bandeiras vermelhas de 1 metro de largura. E bandeiras verdes, azuis e amarelos de 2 metros de largura cada. De quantas formas podemos cobrir o mastro com as bandeiras (sem deixar nenhuma parte vazia e com sobreposição de bandeiras)?

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Mensagem por Renan Almeida Seg 04 Jan 2021, 11:24

Veja que o número de bandeiras de um metro nunca pode ser par, por que assim faltaria uma quantidade ímpar de metros de espaço que não poderiam ser preenchidas pelas bandeiras de 2 metros.
Situações possíveis:
9*1 ---> Todas as bandeiras são vermelhas e do mesmo formato, então só há uma situação possível.(1)

7*1 + 1*2 ---> 7 bandeiras são obrigatoriamente vermelhas, para a de 2 metros, há 3 situações possíveis de cor. Como as larguras são diferentes nós poderíamos arranjar 8 bandeiras diferentes no mastro de 8! formas diferentes, porém há a repetição de 7 bandeiras iguais, portanto 8!/7! = 8. No final há 3*8 = (24) maneiras diferentes de se cobrir o mastro. 

5*1 + 2*2 ---> 
Quando a cor das bandeiras de 2 metros é igual:
3*1 = 3 maneiras de dar cores a elas.
7!/5!*2! = 21
21*3 = 63
Quando a cor das bandeiras de 2 metros é diferente:
3*2 = 6
7!/5! = 42
42*6 = 252
Total: 252 + 53 = (315)

3*1 + 3*2 --->
3 cores iguais:
3*1*1 = 3
6!/3!3! = 20
20*3 = 60
2 cores iguais:
3*1*2 = 6
6!/3!2! = 60
60*6 = 360
3 cores diferentes:
3*2*1 = 6
6!/3! = 120
120*6 = 720
Total: 720 + 60 + 360 = (1140)

1*1 + 4*2 --->
4 cores iguais:
3*1*1*1 = 3
5!/1!4! = 5
3*5 = 15
3 cores iguais:
3*1*1*2 = 6
5!/1!3! = 20
20*6 = 120
2 cores iguais:
3*2*1*1 = 6
5!/1!2! = 60
60*6 = 360
Observe que as cores não podem ser todas diferentes por que há 4 bandeiras e são apenas 3 cores.
Total: 15 + 120 + 360 = (495)

Enfim, podemos cobrir o mastro de 1 + 24 + 315 + 1140 + 495 = 1975 formas diferentes.
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Mensagem por Elcioschin Seg 04 Jan 2021, 13:09

Cristina

Você postou, erradamente, uma questão de Análise Combinatória em Álgebra.
Existe no fórum um local específico para Análise Combinatória.
Vou mudar, mas, por favor, tome mais cuidado nas próximas postagens.
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Mensagem por Cristina Lins Sex 08 Jan 2021, 20:13

Boa tarde, Renan

Quebrei muito a minha cabeça nesse exercício. Sua resolução foi fantástica. Muito Obrigada

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Mensagem por Cristina Lins Sex 08 Jan 2021, 20:15

Boa tarde Elcioschin

Peço desculpas pela postagem no lugar errado. Prestarei mais atenção. Obrigada

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Mensagem por Renan Almeida Sáb 09 Jan 2021, 14:01

Que bom que gostou da minha resolução Cristina.
Você tem a resposta para essa questão? Também quebrei bastante a cabeça para resolver e queria saber se não houve nenhum erro da minha parte. Obrigado.
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Mensagem por Vitor Ahcor Sáb 09 Jan 2021, 19:42

Olá, cheguei numa resposta diferente da do colega Renan ... Vou mostrar as contas:

Seja xn o número de maneiras de cobrir um mastro de n metros de comprimento, usando as mesmas bandeiras do problema. Há dois possíveis casos:

I)A primeira bandeira utilizada (a mais em baixo do mastro) ocupa somente um metro: Logo, só há uma possibilidade e ela deve ser vermelha. Ao colocá-la, devemos ainda "pintar" os n-1 metros restantes (xn-1)

II)A primeira bandeira utilizada (a mais em baixo do mastro) ocupa 2 metros: Então, há 3 possíveis cores para ela. Agora, ao colocá-la, devemos ainda "pintar" os n-2 metros restantes (xn-2)

Assim, podemos montar a seguinte equação de recorrência:  xn = xn-1 + 3*xn-2

Vamos calcular os dois casos iniciais:

i) Só há um modo de "pintar" um mastro de 1 metro, que é usando a cor vermelha, daí x1 = 1 

ii)Há 4 maneiras de "pintar" um mastro de 2 metros: Usando uma bandeira de 2 metros (3 possibilidades), ou usando todas vermelhas, daí x2 = 4

Portanto, usando a lei de recorrência encontrada temos:

x3 = 4+3*1=7
x4 = 7+3*4=19
x5 = 19 + 3*7 = 40
x6 = 40 + 3*19 = 97
x7 = 97 + 3*40 = 217
x8 = 217 + 3*97 = 508
x9 = 508 + 3*217 = 1159 

Logo, há 1159 maneiras de se cobrir um mastro de 9 metros de comprimento.

____________________________________________
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Mensagem por Renan Almeida Dom 10 Jan 2021, 03:34

Muito bom! Combinatória sempre me deixa meio confuso e minhas resoluções acabam ficando grandes demais. Não conhecia esse método de você utilizou, mas vou pesquisar um pouco e procurar onde eu provavelmente me enganei na minha resolução
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