(Ufscar-2008) - área de circunferências
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(Ufscar-2008) - área de circunferências
por Paulo Testoni Qua 16 Set 2009, 16:13
A figura representa três semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de diâmetros AD, AC e CD.
Sendo CB perpendicular a AD, AD, e sabendo-se que AB = 4 cm e DB = 3 cm, a medida da área da região sombreada na figura, em cm², é igual a
a) 1,21 π.
b) 1,25 π.
c) 1,36 π.
d) 1,44 π.
e) 1,69 π.
Sendo CB perpendicular a AD, AD, e sabendo-se que AB = 4 cm e DB = 3 cm, a medida da área da região sombreada na figura, em cm², é igual a
a) 1,21 π.
b) 1,25 π.
c) 1,36 π.
d) 1,44 π.
e) 1,69 π.
Paulo Testoni- Membro de Honra
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Re: (Ufscar-2008) - área de circunferências
por Jose Carlos Qua 16 Set 2009, 17:52
Olá,
sejam:
X e Y pontos médios de AC e CD respectivamente.
temos:
AD² = AB² + BD² => AD² = 25 => AD = 5 cm
AB*BD = 5*BC => 12 = 5*BC => BC = 12/5 cm
Do triângulo ACB temos:
AC² = 4² - (12/5)² => AC² = 16 - (144/25) => AC² = 256/25 => AC = 16/5 cm
Do triângulo CDB temos:
3² = (12/5)² + CD² => CD² = 9 - (144/25) => CD² = 81/25 => CD = 9/5 cm
assim:
AX = 16/10 e CY = 9/10
Então:
S = [ pi*(5/2)²/2 ] - [ pi*(16/10)²/2 ] - [ pi*(9/5)²/2 ] = [ *pi/4 ] - [ (256/100)*pi/2 - [ 81/100*pi/2 ] =
= [(25*pi/4)]/2 - [( 337/100)*pi]/2 = [ (6,25 - 3,37)*pi ]/2 = 1,44*pi .
Um abraço.
sejam:
X e Y pontos médios de AC e CD respectivamente.
temos:
AD² = AB² + BD² => AD² = 25 => AD = 5 cm
AB*BD = 5*BC => 12 = 5*BC => BC = 12/5 cm
Do triângulo ACB temos:
AC² = 4² - (12/5)² => AC² = 16 - (144/25) => AC² = 256/25 => AC = 16/5 cm
Do triângulo CDB temos:
3² = (12/5)² + CD² => CD² = 9 - (144/25) => CD² = 81/25 => CD = 9/5 cm
assim:
AX = 16/10 e CY = 9/10
Então:
S = [ pi*(5/2)²/2 ] - [ pi*(16/10)²/2 ] - [ pi*(9/5)²/2 ] = [ *pi/4 ] - [ (256/100)*pi/2 - [ 81/100*pi/2 ] =
= [(25*pi/4)]/2 - [( 337/100)*pi]/2 = [ (6,25 - 3,37)*pi ]/2 = 1,44*pi .
Um abraço.
Jose Carlos- Grande Mestre
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Localização : Niterói - RJ
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