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Curva de Koch.

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Curva de Koch. Empty Curva de Koch.

Mensagem por Eduardo Rabelo Dom 06 Dez 2020, 17:09

Observe a construção proposta pelas figuras abaixo.

Curva de Koch. XAAAAAElFTkSuQmCC

Os pontos D1 e D2 da figura 2 são tais que AD1 , D1D2 e D2B são congruentes. O ponto D3 da figura 3 é tal que D1D2D3 é um triângulo equilátero. Se em cada segmento da figura 3 for repetido o mesmo processo recém descrito, tem-se:

Curva de Koch. ANLoioAgoAi4CSqIuGnqtCCgCioBPBJREfQKm0RUBRUARcBFQEnXR0GtFQBFQBHwioCTqEzCNrggoAoqAi4CSqIuGXisCioAi4BMBJVGfgGl0RUARUARcBP4PtPJlqs7H6mgAAAAASUVORK5CYII=

Repetindo o processo mais duas vezes, tem-se:

Curva de Koch. J+6CALcXmSnbAAAAABJRU5ErkJggg==

Se esse processo continuar infinitas vezes, obtém-se uma curva chamada “curva de Koch”. Considerando a área do triângulo D1D2D3 igual a 1 unidade de área, então a área delimitada pela “curva de Koch” e pelo segmento AB , em unidade de área, converge para:

a) 9/5 

b) 8/3 

c) 7/4 

d) 6/5

Postei em cálculo por conta do enunciado falar em convergir, mas claro que a questão utiliza de outras áreas da matemática.
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Curva de Koch. Empty Re: Curva de Koch.

Mensagem por Elcioschin Dom 06 Dez 2020, 18:45

Seja x = AD1 = D1D3 = D23 = D2B

S1 = 1

S = x².√3/4 ---> x².√3/4  = 1 ---> x² = 4/√3

Dentro do triângulo da figura 3 cabem 9 triângulos de lado x/3

A área de cada triângulo de lado x/3 vale ---> S' = S/9 --> S' = 1/9

Dividindo D13 e D2em 3 partes iguais:

Na próxima figura (4) existem 4 triângulos de lado x/3.
A área acrescentada foi 4/9


S2 = S1 + 4/9 ---> S2 = 13/9 

Continue: vc deverá obter uma PG decrescente infinita com a1 = 1 e q = 4/9

S = a1/(1 - q) ---> S = 1/(1 - 4/9) ---> S = 9/5
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Curva de Koch. Empty Re: Curva de Koch.

Mensagem por Carolzita Lisboa Dom 03 Jan 2021, 18:20

Se garante!

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