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[Resolvido]Lei dos Cossenos

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Mensagem por aryleudo Qui 15 Set 2011, 14:32

Demonstre a Lei dos Cossenos para um triângulo qualquer.


Última edição por aryleudo em Sab 24 Set 2011, 20:52, editado 1 vez(es)

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[Resolvido]Lei dos Cossenos Empty Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos

Mensagem por Euclides Qui 15 Set 2011, 18:29


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[Resolvido]Lei dos Cossenos Empty Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos

Mensagem por aryleudo Qui 15 Set 2011, 22:40

Mestre Euclides,

Muito didático!

Parabéns.

Sucesso.

Aryleudo (Ary).

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[Resolvido]Lei dos Cossenos Empty Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos

Mensagem por rihan Dom 18 Set 2011, 05:45

Mestres, adoro essa demonstração, que "mata" um monte de "Leis" com uma cajadada só !

Então, vamos lá:

U(a; b) e V(c; d) são dois vetores quaisquer no plano ℝ².

Definindo-se o Produto Escalar como:

U.V = ab + cd

Escolhendo-se um referencial apropriado, teremos:

[Resolvido]Lei dos Cossenos BthVFKXoUAFA9SIj6QxM4ACwHCbERWq0WmsABYFFIiI2g6zqawAFgUUiIjeC6bqfTKXoUAFAxSIiNkCSJIAhoAgeAhSAhNoUsy2gCB4CFICE2BZrAAWBRSIhN4XmeJElFjwIAqgQJsUFUVS16CABQJUgIAACYDgkBAADTISEAAGA6JAQAAEyHhAAAgOmQEAAAMB0SAgAApkNCAADAdEgIAACYDgkBAADTISEAAGA6JAQAAEyHhAAAgOmQEAAAMB0SAgAApkNCAADAdEgIAACYDgkBAADTISEAAGA6JAQAAEyHhAAAgOmQEAAAMB0SAgAApkNCAADAdEgIAACY7v8Dh7MDFEWgAZ8AAAAASUVORK5CYII=

Sejam os módulos |U|= U = √(a²+b²) e |V| = V = √(c² + d²)

Então:

U² = U.U e V² = V.V

a = Ucosβ

b = Usenβ

c = V

d = 0

Teremos:

U.V = ac + bd = UVcosβ

Seja S = U + V

S.S = (U
+V).(U+V)

S² = U.U + V.V + 2U.V

= U² + V² + 2UVcosβ --> Resultante na "Regra do Paralelogramo"

Para darmos em função do ângulo α, sendo β = 180° - α, teremos:

= U² + V² + 2UVcos(180°-α)

= U² + V² - 2UVcosα --> "Lei dos Cossenos"

Se colocarmos o referencial na posição tradicional, teremos:

[Resolvido]Lei dos Cossenos 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

Onde:

a = Ucosφ

b = Usenφ

c = Vcosγ

d = Vsenγ

U.V = UVcosβ = UVcos(φ-γ) <-- (Anterior) (I)

U.V = ac + cd = UV cosφ cosγ + UV senφ senγ (II)

Igualando-se (I) e (II)

UVcos(φ-γ) = UV cosφ cosγ + UV senφ senγ

cos(φ-γ) = cosφ cosγ + senφ senγ --> "Cosseno da Diferença"

Daqui podemos tirar:

cos(φ-(-y)) = cosφ cos(-γ) + senφ sen(-γ)

cos(φ+γ) = cosφ.cosγ - senφ.senγ --> "Cosseno da Soma"

sen(φ+γ) = cos(90º-(φ+γ)) = cos((90°-φ)-γ)

sen(φ+γ) = cos(90°-φ) cosγ + sen(90°-φ) senγ

sen(φ+γ) = senφ.cosγ + cosφ.senγ --> "Seno da Soma"

sen(φ-γ) = senφ.cosγ - cosφ.senγ --> "Seno da Diferença"

e dos anteriores:

sen2φ = 2senφ.cosφ

cos2
φ = cos²φ - sen²φ

Melhor parar por aqui...

Mas... segue mais um protesto:

N
ão consigo entender o porquê de não se ensinar os elementos de álgebra linear ou vetorial no ensino médio !!

Iria ajudar imensamente na:

Física: Produto Escalar em Trabalho; Produto Vetorial em Torque, Momento Angular, Eletricidade e Magnetismo)

Matemática: em Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares, Geometria Analítica, Plana e Espacial !!!

O que vocês pensam sobre isso ?

E vamos lá !

Saudações demonstrativas,

Rihan

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[Resolvido]Lei dos Cossenos Empty Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos

Mensagem por luiseduardo Dom 18 Set 2011, 16:49

Essa demonstração do rihan eu não conhecia, muito interessante.
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Mensagem por aryleudo Dom 18 Set 2011, 17:42

Rihan,

Muito grato pelo sua demonstração!

Você aprofundou consideravelmente a demonstração!

Sucesso,

Aryleudo (Ary).

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Mensagem por rihan Dom 18 Set 2011, 17:51

Agradeço ! Very Happy

Mas, e quanto ao meu protesto Rolling Eyes ?

Qual o porquê de não se dar DUAS HORAS de introdução à Álegebra Linear ( ou Vetorial ) e poupar centenas ou mesmo milhares de horas ?????


Última edição por rihan em Dom 18 Set 2011, 17:55, editado 1 vez(es)

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Mensagem por luiseduardo Dom 18 Set 2011, 17:53

Bom Rihan, aqui no colégio nós tivemos uma noção. Principalmente quando o professor começou geometria analítica e fizemos muitas questões por produto escalar.
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Mensagem por rihan Dom 18 Set 2011, 17:56

Beleza !

Mas como já falamos, o seu Colégio é diferenciado ( e pra melhor ...).

E o resto desse Brasilzão todo ?

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[Resolvido]Lei dos Cossenos Empty Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos

Mensagem por luiseduardo Dom 18 Set 2011, 18:27

Rihan,
Eu acho muito legal o cara aprender essas coisas, mas pense comigo, será que todas as pessoas realmente querem aprender isso ? Isso vai ser útil para a vida delas ? No ENEM tem alguma probabilidade de isso cair algum dia ?


Acho que é assim que a maioria das escolas pensam.
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