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AREF volume 3 Arco Seno

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Resolvido AREF volume 3 Arco Seno

Mensagem por Serg.io Ter 27 Out 2020, 21:31

Sendo
Conjunto Universo U=[0;2π]
Resolva a equação :
sen(2x+4)=1/3



Gabarito : S={π-2+(1/2)arc sen(1/3) ; 2π-2+(1/2)arc sen(1/3) ; (3π/2)-2-(1/2)arc sen(1/3); (5π/2)-2-(1/2)arc sen (1/3)}


Última edição por Serg.io em Qui 29 Out 2020, 10:37, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: AREF volume 3 Arco Seno

Mensagem por Victor011 Qui 29 Out 2020, 09:26

Olá Serg.io! Smile

[latex]\\\sin\alpha=\frac{1}{3}\;\rightarrow\;\alpha=\arcsin \frac{1}{3}\;\;(0< \alpha< \frac{\pi}{2})\\\\ \sin(2x+4)=\sin\alpha\;\left\{\begin{matrix} 2x+4=\alpha +2k\pi\;,\;\;k\in\mathbb{Z}\\ 2x+4=\pi-\alpha +2k\pi\;,\;\;k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\\\\ \rightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{\alpha}{2}-2+k\pi\;,\;\;k\in\mathbb{Z} \\ x=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}-2+k\pi\;,\;\;k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.[/latex]


A princípio é bem estranho ter um valor numérico no ângulo, mas de qualquer forma, a ideia agora é pegar os k's inteiros nas duas equações de forma que o valor de x esteja entre 0 e 2π. Para isso, teremos que calcular o valor de arcsen(1/3) na calculadora e testarmos os valore de k 'na mão'. Para a primeira equação teremos:

[latex]\\\bullet\;x=\frac{\alpha}{2}-2+k\pi\\\\ \rightarrow\;k=0:x=\frac{\arcsin\frac{1}{3}}{2}-2< 0\\\\ \rightarrow\;k=1:\boxed{x=\pi+\frac{\arcsin\frac{1}{3}}{2}-2}\cong1,31\leq 2\pi\\\\ \rightarrow\;k=2:\boxed{x=2\pi+\frac{\arcsin\frac{1}{3}}{2}-2}\cong4,45\leq 2\pi\\\\ \rightarrow\;k=3:x=3\pi+\frac{\arcsin\frac{1}{3}}{2}-2> 2\pi\\\\ [/latex]

Para a segunda equação teremos:

[latex]\\\bullet\;x=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}-2+k\pi\\\\ \rightarrow\;k=0:x=\frac{\pi}{2}-\frac{\arcsin\frac{1}{3}}{2}-2< 0\\\\ \rightarrow\;k=1:\boxed{x=\frac{3\pi}{2}-\frac{\arcsin\frac{1}{3}}{2}-2}\cong2,54\leq 2\pi\\\\ \rightarrow\;k=2:\boxed{x=\frac{5\pi}{2}-\frac{\arcsin\frac{1}{3}}{2}-2}\cong 5,68\leq 2\pi\\\\ \rightarrow\;k=3:x=\frac{3\pi}{2}-\frac{\arcsin\frac{1}{3}}{2}-2> 2\pi\\\\ [/latex]
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Resolvido Re: AREF volume 3 Arco Seno

Mensagem por Serg.io Qui 29 Out 2020, 10:06

Muito obrigado , consegui entender !
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Resolvido Re: AREF volume 3 Arco Seno

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