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Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos

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Mensagem por rihan Ter 13 Set 2011, 04:57

Há 99 moedas.

Não há qualquer diferença visual entre elas.

Há uma moeda falsa entre elas.

Não se sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada do que qualquer uma verdadeira, as quais pesam a mesma coisa cada. Sabe-se somente que seu peso é distinto do de uma verdadeira.

Há uma balança simples de 2 pratos e um lápis.

Pede-se:

(a) O número mínimo de pesagens para se descobrir com absoluta certeza a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve do que uma verdadeira.

(b) A descrição do experimento.

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Mensagem por Werill Sab 29 Out 2011, 16:39

• Tire uma moeda (deixe-a de lado) e coloque 49 moedas em cada prato.
------- Se a balança não desequilibrar significa que a moeda retirada, por sorte, é a falsa.
------- Observamos que os pratos têm massas diferentes, mas como não sabemos se o peso da moeda falsa é maior ou menor que a original, teremos que repetir o experimento separadamente com os dois pratos.

Repetição:
• Tire uma moeda (deixe-a de lado) e coloque 24 moedas em cada prato.
------- Se a balança não desequilibrar significa que ou a moeda retirada é falsa ou a moeda falsa está no outro monte de 24 moedas. Para descobrir se a moeda falsa foi a retirada, pegue qualquer moeda do monte utilizado, se a balança desequilibrar saberemos que ela é falsa e seu peso em relação a outra moeda.
------- Se a balança desequilibrar significa que a moeda falsa está entre esse monte, então continuamos a repetir o procedimento com esse monte.

• E assim continua o experimento...

_________________________________

(a) Esse problema envolve sorte, e sabemos que o menor número de pesagens para descobrir a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve que a verdadeira precisamos de no mínimo dois experimentos.

Observação: Para esse experimento, precisamos de atenção e espaço para não misturar as moedas.

" • Tire uma moeda (deixe-a de lado) e coloque 49 moedas em cada prato.
------- Se a balança não desequilibrar significa que a moeda retirada, por sorte, é a falsa."

Se ela for falsa, basta pegar qualquer outra moeda e pesar novamente. Assim, descobriremos o peso da moeda falsa em relação à verdadeira.

(b) Descrição feita inicialmente.

_________________________________

Não entendi o motivo de ter um lápis... Ainda estou pensando sobre ele.
Aguardo comentários, obrigado.

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Mensagem por rihan Dom 30 Out 2011, 01:55

O lápis é para escrever...

Escrever para facilitar identificação.

Quando se pensa é sempre bom. Independente do resultado.

Procure pensar em simetrias.

E vamos lá !

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Mensagem por Euclides Dom 30 Out 2011, 14:52

Consegui com 6 pesagens (sem lápis):


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Mensagem por Werill Dom 30 Out 2011, 15:19

Verdade... era mais fácil dividir em 3 partes.
Muito bom, Mestre Euclides!

Dúvida:
"Pede-se: O número mínimo de pesagens para se descobrir com absoluta certeza a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve do que uma verdadeira."

Essa pergunta pede uma resposta independente de sorte?


Última edição por Werill em Dom 30 Out 2011, 15:34, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : Erro ortográfico)

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Mensagem por Euclides Dom 30 Out 2011, 15:31

Dúvida:
"Pede-se: O número mínimo de pesagens para se descobrir com absoluta certeza a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve do que uma verdadeira."

Essa pergunta pede um resposta independente de sorte?

Com toda certeza. O rihan certamente não nos propôs um jogo de azar.

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Mensagem por rihan Seg 31 Out 2011, 03:06

Muito Bom Venerável Mestre Euclides cheers !

Adorei os copinhos RGB Very Happy !

Foi sem lápis, mas com copinhos... Cool !

Mas o número mínimo é 5, isto é, com 5 pesadas podemos determinar com certeza absoluta qual a moeda falsa e se pesa mais ou menos.

Lembre-se de que podemos identificar as moedas com o lápis.... :idea: , numerando-as, por exemplo.

Saudações esperançosas !

E Vamos Lá !


Última edição por rihan em Seg 31 Out 2011, 05:43, editado 1 vez(es)

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Mensagem por rihan Seg 31 Out 2011, 03:38

Umas dicas, pra quem quiser...

Spoiler:


Com 1 moeda não haveria o problema...

Com 2 moedas, seria impossível resolver o problema...

Com 3 ou mais moedas, dá pra resolver.

Para qualquer uma delas nós temos 2 "desinformações", isto é, não sabemos se ela pesa mais ou menos.

Logo, 3 moedas nós dá o total de 3*2 = 6 "desinformações".

Uma pesada na balança nos dá 3 informações:

(1) Equilíbrio (0);

(2) Pender para o lado esquerdo (-1), indicando que o que está à esquerda pesa mais do que o que está à direita;

(3) Pender para o lado direito(+1), indicando o contrário do anterior.

Temos 6 "desinformações" para matar com 3 informações, não dá 🇳🇴

Duas pesadas nos fornece no máximo 3*3 = 9 informações:

1 1
1 0
1 -1
0 1
0 0
0 -1
-1 1
-1 0
-1 -1

Oba ! Very Happy !
Temos 6 "desinformações" para matar com 9 informações, legal :bom: !
Então, com 2 pesadas podemos achar a falsa e determinar se pesa mais ou menos cheers !

E agora, como executar o experimento Question ? Rolling Eyes

É interessante haver o mesmo número de moedas em cada prato... Embarassed

Também é muito interessante dividirmos as moedas em grupos com a mesma quantidade de moedas.

Essa simetria é estabelecida para termos a mesma probabilidade, em cada grupo, de encontrarmos a moeda falsa Wink .

Teremos 3 "grupos" de uma moeda.

Vamos numerar as moedas: 1, 2 e 3.

E executar duas pesadas conforme o seguinte desenho:

1ª: 1 x 2

2ª: 1 x 3

Onde o "x" representa "contra", "versus" ...

Podemos raciocinar, é sempre bom usar o separador de orelhas ...

Das "informações" possíveis, o resultado (0; 0), com esse desenho e questão, não pode acontecer, pois indicaria que todas as moedas têm peso iguais, o que contrariaria a questão.

Os resultados (-1; 1) e (1; -1) também são impossíveis de acontecer com esse desenho e questão. Rolling Eyes

Vejamos, e.g. o resultado (-1; 1):

A primeira pesada pendeu para esquerda, indicando que a moeda 3 é verdadeira. Também nos diz que a falsa ou é a 1 e pesa mais, ou é a 2 e pesa menos.

Mas a 2ª pesada nos diz que a moeda 1 é diferente da 3, logo a 1 é falsa (já que a 3 é verdadeira...), mas agora pesa menos affraid ! Opa ! Não pode !

Verificaríamos, de maneira análoga, que a saída (1; -1) também é impossível.

Perdemos 3 das 9 "informações" possíveis. Temos agora 6. Beleza ! Empate !

Podemos agora descobrir facilmente a moeda falsa e se pesa mais ou menos que as verdadeiras !!! cheers :bounce: !!!

Como ? Como é ???

Isso mesmo !!!

Vejamos:

Resposta
1 1 1, pesa –
-1 -1 1, pesa +
-1 0 2, pesa –
1 0 2, pesa +
0 -1 3, pesa –
0 1 3, pesa +

Metodificando, somente com os resultados "pesa +":

Resposta
-1 -1 1, pesa +
1 0 2, pesa +
0 1 3, pesa +

Se acontecer o "negativo" do resultado ( multiplicado por -1), então "pesa –" Cool !

Mas, o melhor estar por vir !!! affraid

Podemos olhar a "informação das informações" de OUTRA maneira:

(-1; -1) = Qual moeda estava na 1ª pesada e estava na 2ª pesada ? A 1 !

(1; 0) = Qual moeda estava na 1ª pesada e não estava na 2ª pesada ? A 2 !

(0; 1) = Qual moeda não estava na 1ª pesada e estava na 2ª pesada ? A 3 !

Podemos agora induzir para 9...

Desinformação: 9*2 = 18

Informação: 3¹ = 3, não dá; 3² = 9, não dá; 3³ = 27 está bom !

Necessitamos de 3 pesagens !!!

Três grupos de 3.

Desenho:

1ª: 1 2 3 x 4 5 6

2ª: 1 2 3 x 7 8 9

Notar que, após estas pesagens, já sabemos em qual grupo a falsa se encontra e se pesa mais ou menos...

Então, agora, temos que comparar 2 novos grupos de 3 moedas cada, cada um contendo UMA moeda dos 3 primeiros grupos iniciais. Por exemplo:

3ª: 1 4 7 x 2 5 8

Suponhamos que o resultado fosse:

(1; 0; 0) = Qual moeda estava na 1ª e não estava nas outras ? A 6 e pesa + !

Ou:

(1; 1; 1) = Qual moeda estava na 1ª , na 2ª e na 3ª ? A 1 e pesa – !

Podemos induzir para 12...

Agora temos a mais as moedas 10, 11 e 12.

Desinformação: 12*2 = 24

Informação: 3³ = 27

Três pesagens.

3 grupos de 4 inicialmente.

Desenho:

Mantenho o anterior e acrescento as moedas 10, 11 e 12 com jeitinho... Cool

Por exemplo, um desenho possível:

1 2 3 10 x 4 5 6 11

1 2 3 11 x 7 8 9 10

1 4 7 10 x 2 5 8 12

Suponhamos os resultados:

(1; 0; 0) = Qual moeda estava na 1ª e não estava nas outras ? A 6 e pesa + !

(0; 0; -1) =Qual moeda estava na 3ª e não estava nas outras ? A 12 e pesa – !

(1; 1; 1) = Qual moeda estava em todas as pesadas ? A 1 e pesa - !

(-1; -1; -1) = Qual moeda estava em todas as pesadas ? A 1 e pesa + !

(-1; 1; -1) = Qual moeda estava em todas as pesadas ? A 10 e pesa + !

(1; -1; 1) = Qual moeda estava em todas as pesadas ? A 10 e pesa - !

E aí vai. Perceber que o jeitinho com a 10... a 11 e a 12 foi o de aproveitar "aquelas" informações antes "impossíveis", mas, agora, em virtude do desenho proposto, possíveis...

Podemos continuar nossa indução para 99 !

Desinformação: 99*2 = 198

Informação: 3¹ = 3, não dá; 3² = 9, não dá; 3³ = 27, não dá; 3^4 = 81, não dá; 3^5 = 243 está bom !

Cinco pesagens.

Três grupos de 33, inicialmente

Desenho:

Agora é um tempo pra vocês !!! :bounce: !!! affraid :face: :twisted:

E Vamos Lá !!!

Saudações entrópicas !

OBSERVAÇÕES:

1) O pessoal gosta de chamar de ENTROPIA ao logaritmo em uma base escolhida ( no nosso caso: 3) do que chamei de "desinformação"...

2) NOTAR QUE PODEMOS INVERTER A ORDEM DAS PESAGENS COMO BEM DESEJARMOS ...!






Para quem gosta de brincar com menos moedas... ( até 15 em 3 pesagens) ! Very Happy http://www.mapsofconsciousness.com/12coins/

Euclides, neste link, para quantidades acima de 12 em 3 pesagens, temos que usar probabilidades... interessante Very Happy !


Última edição por rihan em Seg 31 Out 2011, 13:08, editado 1 vez(es)

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Mensagem por rihan Seg 31 Out 2011, 13:04

Se refletirmos sobre esse problema, muitas coisas surgirão...

A primeira delas, que é muito interessante, é como as pessoas representam o problema.

Como esse tipo de problema não nos é "ensinado na escola", cada um se vira como pode e representa como quer.

Chegar a uma boa representação é muito importante na resolução de problemas.

Descobrir analogias para áreas onde nos "sentimos à vontade" também é ótimo !

Mas, para mim, o principal que percebo: como é maravilhoso "esquentar o separador de orelhas" !!! Smile !!!

Todos que "esquentam", com esforço, natruralmente, começam a perceber a sua própria evolução. Começam a se adaptar rapidamente às novas situações, a fazer analogias, a, finalmente, começar a fazer um bom uso desse milagre que é o nosso cérebro !

Começamos a sentir, a perceber que realmente a vida é um milagre !

A ter certeza, quase indutiva, em Algo maior !

Saudações à vida !

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