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EsSA - 2014

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Resolvido EsSA - 2014

Mensagem por rez.felipe Dom 30 Ago 2020, 07:43

Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos O(0,0) e A(8,0). A equação do conjunto dos pontos P(x,y) desse plano sabendo que a distância d e O a P é o triplo da distância de P a A, é uma: 


a)circunferência de centro (9,0) e raio 3. 
b)elipse de focos (6,0) e (12,0) e eixo menor 6. 
c)reta que passa pelos pontos (6,0) e (9,3). 
d)hipérbole de focos (3,0) e (15,0), e eixo real 6. 
e)parábola de vértice (9,3), que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (6,0) e (12,0).


Pessoal, já entendi de cabo a rabo resolução dessa questão, estudei cada uma dessas cônicas, porém a minha dúvida é como eu conseguiria identificar que era uma hipérbole/elipse/parábola caso eu não aplicasse os procedimentos da circunferência, já vi um monte de resoluções, mas o pessoal já sai procurando o raio e o centro, ninguém explica o porquê de tratar aquilo como uma circunferência, mesmo essa equação possuindo o x² e y²como a hipérbole/elipse.  Laughing


Caso alguém puder me ajudar.


Spoiler:
Alternativa (A)


Última edição por rez.felipe em Seg 07 Set 2020, 14:27, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: EsSA - 2014

Mensagem por Medeiros Dom 30 Ago 2020, 10:46

Seja P(x, y), use a expressão para distância de ponto a ponto e faça
PO = 3.PA
você vai chegar na equação de uma circunferência com os dados da alternativa a).

também pode procurar a teoria de círculo de Apolônio.
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Resolvido Re: EsSA - 2014

Mensagem por Elcioschin Dom 30 Ago 2020, 12:38

OP² = x² + y² ---> I
AP² = (x - Cool² + (y - 0)² ---> AP² = x² + y² - 16.x + 64 ---> II

OP = 3.AP ---> OP² = 9.AP² ---> x² + y² = 9.(x² + y² - 16.x + 64)

8.x² + 8.y² - 144.x + 576 = 0 ---> :8 ---> x² + y² - 18.x = 72 = 0

Claramente se vê que é uma circunferência. Falta apenas encontrar o raio e o centro:

x² - 18.x + 81 + y² + 72 = 81 ---> (x - 9)² + (y - 0)² = 3²

Centro C(9, 0) e raio R = 3
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Resolvido Re: EsSA - 2014

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