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Poti - Teoria dos Números

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Mensagem por Russell99 Sex 21 Ago 2020, 14:38

Encontre todos os n tais que n! é um quadrado perfeito.

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Poti - Teoria dos Números Empty Re: Poti - Teoria dos Números

Mensagem por Elcioschin Sex 21 Ago 2020, 17:42

Dois são fáceis:

0! = 1 ---> quadrado perfeito
1! = 1 ---> quadrado perfeito
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Poti - Teoria dos Números Empty Re: Poti - Teoria dos Números

Mensagem por superaks Qua 14 Out 2020, 12:25

Pra verificar isso eu só consigo pensar no postulado de Bertrand (que foi provado) que diz que, para um natural maior que 1, existe pelo menos um primo p, tal que n < p < 2n

Prova do postulado: https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate


Com esse fato podemos afirmar então que não existem valores de n maiores que 1, tal que n! é um quadrado perfeito

Note que se n > 1, então teremos um primo entre n/2 e n, mas ele será o único fator primo entre 1 e n, pois o seu menor múltiplo, que seria 2p, já seria maior que n, pois p > n/2, então 2p > n. Portanto, n! vai ter fatores primos aparecendo só 1 vez, mas para ser quadrado perfeito teriam que aparecer uma quantidade par de vezes, logo, para n > 1 não tem solução. 

Então as únicas soluções seriam as encontradas pelo mestre, 0 e 1
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Poti - Teoria dos Números Empty Re: Poti - Teoria dos Números

Mensagem por Elcioschin Qua 14 Out 2020, 19:18

Muito bom! Eu não conhecia o postulado!
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