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Teoria dos números

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Mensagem por João Gabriel1 Sex 21 Ago 2020, 09:27

Todos os números de dois dígitos de 19 a 80 são escritos em uma linha reta sem espaço.É obtido o número 1920212.....7980. Este número é divisível por 1980? Justifique
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Teoria dos números Empty Re: Teoria dos números

Mensagem por fantecele Sex 21 Ago 2020, 10:42

Primeiramente, perceba que 1980 = 4.5.9.11, então, para que aquele número grande seja divisível por 1980 ele deve ser divisível por 4, por 5, por 9 e por 11, então basta usar os critérios de divisibilidade para saber se o número grande é divisível por cada um desses números.
Pro 4 basta olhar se o número formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4. Pro 5 basta olhar se o último algarismo da direita é zero ou 5. E por aí vai.
Tente fazer essas contas, o único problema, talvez, possa ser para os casos do 9 e do 11, mas é bom você tentar fazer porque aí você treina.
Creio que seja isso, qualquer coisa é só falar.

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Mensagem por João Gabriel1 Ter 25 Ago 2020, 08:43

Consegui por 9, agora, como provar por 11?
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Mensagem por fantecele Sex 18 Set 2020, 21:39

Um número é divisível por 11 quando a diferença, em valor absoluto, entre a soma dos valores dos algarismos de ordem ímpar e a dos algarismos de ordem par é divisível por 11. 

Para os algarismos de ordem ímpar vamos ter:

1 + 2 + 2 + ... + 2 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 + ... + 7 + 7 + 7 + 8 = 1 + 2.10 + 3.10 + ... + 7.10 + 8 = 279

Para os algarismos de ordem par:

9 + 0 + 1 + 2 + ... + 9 + 0 + 1 + 2 + ... + 9 + ... + 9 + 0 = 9 + 6.0 + 6.1 + 6.2 + 6.3 + 6.4 + ... + 6.9 + 0 = 279

Portanto a soma dos termos de ordem ímpar menos a soma dos termos de ordem par é zero, porém zero é divisível por 11, logo aquele número grande é divisível por 11.

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