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Geometria analítica

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Mensagem por João Gabriel1 Ter 04 Ago 2020, 19:39

Identifique o lugar geométrico e os comprimentos dos eixos da cônica de equação 8x^2+4xy+5y^2-18x+36y+45=0, será que sai por rotação? Gabarito:Elipse; x'^225/16+y'2/225/36=1
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Geometria analítica Empty Re: Geometria analítica

Mensagem por Take me down Qua 05 Ago 2020, 12:55

Olá, João Gabriel1,

Para identifcar o L.G.:

---> Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

---> B² - 4AC = 16 - 4.8.5 < 0

Logo, é uma elipse.

Quanto aos comprimentos dos eixos, façamos a derivada parcial em x e em y, igualando a 0 para achar o centro.

16x + 4y - 18 = 0 
4x + 10y + 36 = 0

---> x = 9/4 e y = -9/2

Logo, o centro será C = (9/4, -9/2).

Podemos eliminar os termos lineares agora.

Façamos a translação de eixos: x' = x - 9/4 e y' = y + 9/2, obtendo

-> 8x'² + 4x'y' + 5y'² - (15/2)² = 0

Para eliminar o termo retangular, temos que

---> tg(2θ) = B'/(A' - C') = 4/3

Logo, tg(θ) = 1/2 ou tg(θ) = -2 (desnecessário)

-> cos(θ) = 2/√5 e sen(θ) = 1/√5.

Agora, aplicamos a rotação dos eixos sob o ângulo θ.

As novas coordenadas serão dadas por:

---> x' = cos(θ).x'' - sen(θ).y''
---> y' = sen(θ).x'' + cos(θ).y''

Após as substituições e os cálculos, temos

---> 9x''² + 4y''² - (15/2)² = 0.

Logo,

a² = (225/4.4) ---> a = 15/4 (sobre y'').
b² = (225/4.9) ---> b = 15/6 (sobre x'').

Finalmente,

-> eixo maior: 2a = 15/2.

-> eixo menor: 2b = 5.

Perceba que a questão não pede a equação, e sim o comprimento dos eixos, afinal, podemos rotacionar no sentido horário ou anti-horário, por exemplo.

Minha elipse sob a ótica de x'' e y'' está com o eixo maior em y'', o que não influencia na resposta final.

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Geometria analítica Empty Re: Geometria analítica

Mensagem por João Gabriel1 Qua 12 Ago 2020, 07:44

Olá mestre,Obrigado pela ajuda!, o delta ser menor que zero, indica que o LG é um ponto ou elipse ou vazio ou círculo, o que garante que seja uma elipse? sei que vc verficiou isso depois, mas eu gostaria de saber se tem como verificar antes
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