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Teoria dos números

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Resolvido Teoria dos números

Mensagem por João Gabriel1 Sex 31 Jul 2020, 20:35

Quais são as possibilidades para:

a)m.d.c(a-1,a+1)

b)m.d.c(a-b,a+b) com a e b primos entre si

Gabarito:

 a) Se a for ímpar mdc=2, se a for par mdc=1

b) se tiverem a e b tiverem a  mesma paridade mdc=2, se não, mdc=1


Última edição por João Gabriel1 em Sex 21 Ago 2020, 09:23, editado 4 vez(es)
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Resolvido Re: Teoria dos números

Mensagem por fantecele Sab 01 Ago 2020, 13:27

Para a letra a, considere d = mdc(a-1,a+1), então:
d|(a-1) e d|(a+1) então d|((a+1)-(a-1))=2, ou seja d|2.
De d|2 temos que as possibilidades de d é ele sendo igual a 1 ou 2, vamos analisar os casos para "a".
Se "a" for ímpar, então ele é da forma 2k+1, logo a-1 = 2k+1-1 = 2k e a+1 = 2k+1+1 = 2(k+1), desde que ambos são pares e os valores possíveis para d é 1 ou 2, então d = 2.
Se "a" for par, então ele é da forma 2k, logo a-1 = 2k-1 e a+1 = 2k+1, desde que ambos são ímpares e os valores possíveis para d é 1 ou 2, então d = 1.
Daí temos que se a for ímpar mdc=2, se a for par mdc=1.

Para a letra b use a mesma ideia, perceba que, desde que a e b são primos entre si, então mdc(a,b) = 1, então existem r e s tais que r.a + s.b = 1, você vai conseguir chegar que o mdc(a-b,a+b) é 1 ou 2, aí é só analisar os casos.

Creio que seja isso, qualquer coisa é só falar.

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Resolvido Re: Teoria dos números

Mensagem por João Gabriel1 Sab 15 Ago 2020, 07:37

Cara, tentei fazer a letra b aqui mas não saiu, vc pode me mostrar sua resolução?
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Resolvido Re: Teoria dos números

Mensagem por fantecele Sab 15 Ago 2020, 12:56

Certo, primeiramente, sendo a e b primos entre si (mdc(a,b) = 1) então existem r e s tais que ar + bs = 1.
Agora, sendo d = mdc(a-b,a+b) então d|(a-b) e d|(a+b), então d|((a-b) + (a+b)) e d|(-(a-b) + (a+b)), ou seja, d|2a e d|2b, então d divide uma combinação linear entre 2a e 2b, em particular temos que d|(2ar + 2bs) = 2(ar + bs) = 2, ou seja, d|2, daqui temos que as possibilidades para d é ele sendo 1 ou 2.
Vamos separar os casos, primeiramente vamos considerar que a e b possuem a mesma paridade, então temos que (a = 2x e b = 2y) ou (a = 2x+1 e b = 2y+1), aqui estamos considerando ambos pares ou ambos ímpares. Para o primeiro caso temos que a-b = 2(x - y) e a+b = 2(x+y), então a-b e a+b são pares, dessa forma, sendo d = 1 ou d = 2, temos que d = 2, da mesma forma para a e b ímpares, a-b = 2(x-y) e a+b = 2(x + y + 1), ambos são pares e então d = 2. Daqui tiramos que se a e b possuem a mesma paridade, então mdc(a-b,a+b) = 2.
Se a e b possuem paridade diferentes, então (a = 2x e b = 2y+1) ou (a = 2x+1 e b = 2y), dessa forma, para o primeiro caso temos a-b = 2(x-y)-1 e a+b = 2(x+y)+1, ambos são ímpares, então, desde que d = 1 ou d = 2, temos que d = 1, da mesma se chega para a = 2x+1 e b = 2y, a-b = 2(x-y)+1 e a+b = 2(x+y) + 1, ambos ímpares e então d = 1. Daqui tiramos que se a e b possuem paridade diferente, então mdc(a-b,a+b) = 1.

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Resolvido Re: Teoria dos números

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