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ITA - Função exponencial

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Mensagem por Sr Marco Sex 24 Jul 2020, 17:31

Determine todas as soluções da equação


[latex] sen^{6}x + cos^{6}x = \frac{7}{12}[/latex]





Resposta: 
[latex]\left \{ x \in \mathbb{R} | x = \pm arc\: sen \frac{\sqrt{6}}{6} + n.2\Pi \; ou \; x= arc \: sen\frac{\sqrt{30}}{6}\: +\: n.2\Pi ,\: (n\: \in \; \mathbb{Z}) \right \}[/latex]



Se alguém puder ajudar  Very Happy
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Mensagem por Skyandee Sex 24 Jul 2020, 17:51

[latex]\\\cos^2 x = 1-\sin^2x \Rightarrow \cos^6x=1-3\sin^2x+3\sin^4x-\sin^6x\\\\\\\sin^6x+\cos^6x = \frac{7}{12}\Rightarrow 1- 3\sin^2x+3\sin^4x = \frac{7}{12}\;\;\;\;(\sin^2x = m)\\\\\\3m^2-3m+\frac{5}{12} = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{6}\;\;\text{ou}\;\; m=\frac{5}{6}\\\\\\\sin^2x=\frac{1}{6}\Rightarrow \sin x= \pm  \frac{1}{\sqrt 6} \Rightarrow x = \pm\arcsin\left ( \frac{1}{\sqrt6} \right )+2k\pi,(k\in \mathbb{Z})\\\\\\\sin^2x=\frac{5}{6} \Rightarrow \sin x= \pm  \frac{\sqrt {5}}{\sqrt 6} \Rightarrow x = \pm\arcsin\left ( \frac{\sqrt {30}}{6} \right )+2k\pi,(k\in \mathbb{Z}) [latex]
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Mensagem por Sr Marco Sex 24 Jul 2020, 18:17

Obrigado. Consegui entender sua resolução.

Saberia dizer o por quê do "arc" sen e não apenas "sen" na solução?
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Mensagem por Skyandee Sex 24 Jul 2020, 18:22

O conjunto solução esperado engloba medidas de arcos, não os senos desses arcos. Se fossem os ângulos notáveis, você conseguiria expressar o valor de x sem problemas; porém, fica difícil encontrar os arcos que possuem seno = 1 sobre raiz de 6 ou raiz de 30 sobre 6.

Então, o mais prático é fazer o seguinte:

Se eu tenho que sen x = y, então arcsen y = x (Leia como "x é o arco cujo seno vale y"). A função arcsen x é a inversa da sen x.

Se seno de x =1/√6, então x é o arco cujo seno vale 1/√6; se seno de x =√30/6, então x é o arco cujo seno vale √30/6.

Dessa forma, consigo devolver x ao conjunto solução como esperado.
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Mensagem por marcosprb Sex 24 Jul 2020, 18:30

Resolução no canal do Mocelin
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