IME (76-77) Análise Combinatória
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IME (76-77) Análise Combinatória
São dados n pontos em um plano, supondo-se:
a) Cada três pontos quaisquer não pertencem a uma mesma reta;
b) Cada par de retas por eles determinados não é constituído por retas paralelas;
c) Cada três retas por eles determinadas não passam por um mesmo ponto.
Pede-se o número de interseções das retas determinadas por esses pontos distintos dos pontos dados
a) Cada três pontos quaisquer não pertencem a uma mesma reta;
b) Cada par de retas por eles determinados não é constituído por retas paralelas;
c) Cada três retas por eles determinadas não passam por um mesmo ponto.
Pede-se o número de interseções das retas determinadas por esses pontos distintos dos pontos dados
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Re: IME (76-77) Análise Combinatória
Vamos supor que esses n pontos, quando ligados, formam o seguinte polígono:
Podemos escolher 4 pontos quaisquer desse polígono. Suponha que, sem perda de generalidade, escolhamos os pontos B, O, J e H. Como nenhuma reta formada é paralela, sabemos que o segmento BO se encontrará com o HJ. Também sabemos que o segmento BH interceptará o segmento OJ. O mesmo vale para as diagonais do quadrilátero BOJH. Todas essas interseções ocorrerão em pontos diferentes daqueles n pontos iniciais.
Podemos escolher 4 pontos quaisquer desse polígono. Suponha que, sem perda de generalidade, escolhamos os pontos B, O, J e H. Como nenhuma reta formada é paralela, sabemos que o segmento BO se encontrará com o HJ. Também sabemos que o segmento BH interceptará o segmento OJ. O mesmo vale para as diagonais do quadrilátero BOJH. Todas essas interseções ocorrerão em pontos diferentes daqueles n pontos iniciais.
Ou seja, temos [latex]C_{n,4}[/latex] formas de escolher 4 pontos quaisquer e temos 3 interseções distintas das retas para cada grupo de 4 pontos. Pelo P.F.C:
[latex]R = 3\cdot C_{n,4}[/latex]
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