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IME (76-77) Análise Combinatória

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IME (76-77) Análise Combinatória Empty IME (76-77) Análise Combinatória

Mensagem por Xm280 Seg 13 Jul 2020, 17:47

São dados n pontos em um plano, supondo-se:

a) Cada três pontos quaisquer não pertencem a uma mesma reta;
b) Cada par de retas por eles determinados não é constituído por retas paralelas;
c) Cada três retas por eles determinadas não passam por um mesmo ponto.

Pede-se o número de interseções das retas determinadas por esses pontos distintos dos pontos dados

Gabarito:
3*Cn,4

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IME (76-77) Análise Combinatória Empty Re: IME (76-77) Análise Combinatória

Mensagem por tales amaral Dom 23 Ago 2020, 09:28

Vamos supor que esses n pontos, quando ligados, formam o seguinte polígono:


IME (76-77) Análise Combinatória Sem_tz10


Podemos escolher 4 pontos quaisquer desse polígono. Suponha que, sem perda de generalidade, escolhamos os pontos B, O, J e H. Como nenhuma reta formada é paralela, sabemos que o segmento BO se encontrará com o HJ. Também sabemos que o segmento BH interceptará o segmento OJ. O mesmo vale para as diagonais do quadrilátero BOJH. Todas essas interseções ocorrerão em pontos diferentes daqueles n pontos iniciais.


Ou seja, temos [latex]C_{n,4}[/latex] formas de escolher 4 pontos quaisquer e temos 3 interseções distintas das retas para cada grupo de 4 pontos. Pelo P.F.C:




[latex]R = 3\cdot C_{n,4}[/latex]



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