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Teoria dos números

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Mensagem por João Gabriel1 Sex 10 Jul 2020, 19:52

Prove que para nenhum número n natural, 2^n+1 é um cubo(Sugestão da apostila:faça por contradição)
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Mensagem por Elcioschin Sex 10 Jul 2020, 22:26

Para n = 0 --> 20 + 1 = 2 ---> não é cubo perfeito
Para n = 1 --> 21 + 1 = 3 ---> não é cubo perfeito

Logo, devemos ter n > 1 e 2n é sempre par

2n + 1 = x³ ---> 2n = x³ - 1 ---> 2n = (x - 1).(x² + x + 1)

Para x = par ---> (x - 1) é ímpar e (x² + x + 1) é ímpar ---> Impossível 

Falta provar para x ímpar.
.


Última edição por Elcioschin em Ter 14 Jul 2020, 09:17, editado 1 vez(es)
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João Gabriel1 gosta desta mensagem

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Mensagem por João Gabriel1 Seg 13 Jul 2020, 20:40

Muito obrigado Mestre !
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Mensagem por Ashitaka Seg 13 Jul 2020, 20:47

Elcioschin escreveu:Para n = 0 --> 20 + 1 = 2 ---> não é cubo perfeito
Para n = 1 --> 21 + 1 = 3 ---> não é cubo perfeito

Logo, devemos ter n > 1 e 2n é sempre par

2n + 1 = x³ ---> 2n = x³ - 1 ---> 2n = (x - 1).(x² + x + 1)

Para x = par ---> (x - 1) é ímpar e (x² + x + 1) é ímpar ---> Impossível 

Falta provar para x ímpar.
.

Elcio, foi isso que quis dizer?

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Mensagem por Elcioschin Seg 13 Jul 2020, 21:53

Exatamente Ashitaka. Distração minha!

Quem sabe assim, para x ímpar:

Para n > 0, 2n é múltiplo de 2 e termina em 2, 4, 8, 16, ....

Neste caso (x - 1) deve ser do formato de 2n ---> x = 3, 5, 9, 15, ...

E o mesmo deve acontecer para x² + x + 1 ---> 13, 31, 91, 231, .....
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