Desafio 4: Matemática-Números Binomiais
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Desafio 4: Matemática-Números Binomiais
Como combinado, desafio das 12:00h.(Ops! mandei atrasado)
(UFI - 2020) Calcule S:
[latex]S=\binom{n}{0}^2 + \binom{n}{1}^2 + \binom{n}{2}^2 + ... + \binom{n}{n-1}^2 + \binom{n}{n}^2[/latex]
(UFI - 2020) Calcule S:
[latex]S=\binom{n}{0}^2 + \binom{n}{1}^2 + \binom{n}{2}^2 + ... + \binom{n}{n-1}^2 + \binom{n}{n}^2[/latex]
Última edição por Lucius Draco em Ter 07 Jul 2020, 21:26, editado 1 vez(es)
Lucius Draco- Jedi
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Vitor Ahcor gosta desta mensagem
Re: Desafio 4: Matemática-Números Binomiais
Problema auxiliar para resolver a questão:
"Dado um grupo de n homens e n mulheres, de quantos modos podemos escolher n pessoas ?"
"Dado um grupo de n homens e n mulheres, de quantos modos podemos escolher n pessoas ?"
____________________________________________
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Vitor Ahcor- Monitor
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Re: Desafio 4: Matemática-Números Binomiais
Vitor Ahcor escreveu:Problema auxiliar para resolver a questão:
"Dado um grupo de n homens e n mulheres, de quantos modos podemos escolher n pessoas ?"
Exato!
Eu sabia que tinha essa solução, mas não espera que alguém fosse pensar nisso.
Enfim, C H A T E A D O!(kkkkk, zoeira)
Por fim, tem outra solução utilizando polinômio. Tente faze-la.
Mas prioritariamente tente o Desafio 3 (https://pir2.forumeiros.com/t170734-desafio-3-matematica-binario#596991) que era o que eu ia postar hoje, mas postei ele em homenagem ao Euclides devido o aniversário do site.
Lucius Draco- Jedi
- Mensagens : 234
Data de inscrição : 29/05/2020
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Localização : Fortaleza, CE
Re: Desafio 4: Matemática-Números Binomiais
Exato!
Eu sabia que tinha essa solução, mas não espera que alguém fosse pensar nisso.
Enfim, C H A T E A D O!(kkkkk, zoeira)
Argumentos combinatórios são sempre muito "convenientes" né kkk, mas uma outra solução seria usar a identidade polinomial:
[latex](1+x)^n\times (1+x)^n\equiv (1+x)^2^n [/latex]
[latex]\Rightarrow (\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}x^k)\times(\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{i}x^i)\equiv (\sum_{k=1}^{n} \binom{2n}{j}x^j)[/latex]
Em especial para j=n, têm-se k+i = n. Daí,
[latex]\binom{n}{0}\times \binom{n}{n}+\binom{n}{1}\times \binom{n}{n-1}+...+\binom{n}{n}\times \binom{n}{0} = \binom{2n}{n}[/latex]
Lembrando que [latex]\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} [/latex]. A resposta é:
[latex]\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+...+\binom{n}{n}^2= \binom{2n}{n}[/latex].
*Obs: Tive que fazer uma solução um pouco mais "compacta" por conta do tempo, mas sinta-se a vontade para acrescentar qualquer coisa.
*Obs': não tenho certeza se essa era a solução que você sugeriu.
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Vitor Ahcor- Monitor
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Localização : São José dos Campos
Re: Desafio 4: Matemática-Números Binomiais
Vitor Ahcor escreveu:Exato!
Eu sabia que tinha essa solução, mas não espera que alguém fosse pensar nisso.
Enfim, C H A T E A D O!(kkkkk, zoeira)
Argumentos combinatórios são sempre muito "convenientes" né kkk, mas uma outra solução seria usar a identidade polinomial:
[latex](1+x)^n\times (1+x)^n\equiv (1+x)^2^n [/latex]
[latex]\Rightarrow (\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}x^k)\times(\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{i}x^i)\equiv (\sum_{k=1}^{n} \binom{2n}{j}x^j)[/latex]
Em especial para j=n, têm-se k+i = n. Daí,
[latex]\binom{n}{0}\times \binom{n}{n}+\binom{n}{1}\times \binom{n}{n-1}+...+\binom{n}{n}\times \binom{n}{0} = \binom{2n}{n}[/latex]
Lembrando que [latex]\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} [/latex]. A resposta é:
[latex]\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+...+\binom{n}{n}^2= \binom{2n}{n}[/latex].
*Obs: Tive que fazer uma solução um pouco mais "compacta" por conta do tempo, mas sinta-se a vontade para acrescentar qualquer coisa.
*Obs': não tenho certeza se essa era a solução que você sugeriu.
Exatamente!
Colocarei o tópico como concluído.
Só falta alguém resolver o desafio 3. Será que vão conseguir?
Lucius Draco- Jedi
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Data de inscrição : 29/05/2020
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Vitor Ahcor gosta desta mensagem
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