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Desafio 4: Matemática-Números Binomiais

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Resolvido Desafio 4: Matemática-Números Binomiais

Mensagem por Lucius Draco Ter 07 Jul 2020, 12:06

Como combinado, desafio das 12:00h.(Ops! mandei atrasado)


(UFI - 2020) Calcule S:

[latex]S=\binom{n}{0}^2 + \binom{n}{1}^2 + \binom{n}{2}^2 + ... + \binom{n}{n-1}^2 + \binom{n}{n}^2[/latex]


Última edição por Lucius Draco em Ter 07 Jul 2020, 21:26, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Desafio 4: Matemática-Números Binomiais

Mensagem por Vitor Ahcor Ter 07 Jul 2020, 12:21

Problema auxiliar para resolver a questão:

"Dado um grupo de n homens e n mulheres, de quantos modos podemos escolher n pessoas ?"
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Resolvido Re: Desafio 4: Matemática-Números Binomiais

Mensagem por Lucius Draco Ter 07 Jul 2020, 12:51

@Vitor Ahcor escreveu:Problema auxiliar para resolver a questão:

"Dado um grupo de n homens e n mulheres, de quantos modos podemos escolher n pessoas ?"

Exato!

Eu sabia que tinha essa solução, mas não espera que alguém fosse pensar nisso.
Enfim, C H A T E A D O!(kkkkk, zoeira)

Por fim, tem outra solução utilizando polinômio. Tente faze-la.

Mas prioritariamente tente o Desafio 3 (https://pir2.forumeiros.com/t170734-desafio-3-matematica-binario#596991) que era o que eu ia postar hoje, mas postei ele em homenagem ao Euclides devido o aniversário do site.
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Resolvido Re: Desafio 4: Matemática-Números Binomiais

Mensagem por Vitor Ahcor Ter 07 Jul 2020, 20:43

Exato!

Eu sabia que tinha essa solução, mas não espera que alguém fosse pensar nisso.
Enfim, C H A T E A D O!(kkkkk, zoeira)

Argumentos combinatórios são sempre muito "convenientes" né kkk, mas uma outra solução seria usar a identidade polinomial:  

[latex](1+x)^n\times (1+x)^n\equiv (1+x)^2^n [/latex]

[latex]\Rightarrow (\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}x^k)\times(\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{i}x^i)\equiv (\sum_{k=1}^{n} \binom{2n}{j}x^j)[/latex]

Em especial para j=n, têm-se k+i = n. Daí,

[latex]\binom{n}{0}\times \binom{n}{n}+\binom{n}{1}\times \binom{n}{n-1}+...+\binom{n}{n}\times \binom{n}{0} = \binom{2n}{n}[/latex]

Lembrando que [latex]\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} [/latex]. A resposta é:

[latex]\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+...+\binom{n}{n}^2= \binom{2n}{n}[/latex].

*Obs: Tive que fazer uma solução um pouco mais "compacta" por conta do tempo, mas sinta-se a vontade para acrescentar qualquer coisa.

*Obs': não tenho certeza se essa era a solução que você sugeriu.
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Resolvido Re: Desafio 4: Matemática-Números Binomiais

Mensagem por Lucius Draco Ter 07 Jul 2020, 21:26

@Vitor Ahcor escreveu:
Exato!

Eu sabia que tinha essa solução, mas não espera que alguém fosse pensar nisso.
Enfim, C H A T E A D O!(kkkkk, zoeira)

Argumentos combinatórios são sempre muito "convenientes" né kkk, mas uma outra solução seria usar a identidade polinomial:  

[latex](1+x)^n\times (1+x)^n\equiv (1+x)^2^n [/latex]

[latex]\Rightarrow (\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}x^k)\times(\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{i}x^i)\equiv (\sum_{k=1}^{n} \binom{2n}{j}x^j)[/latex]

Em especial para j=n, têm-se k+i = n. Daí,

[latex]\binom{n}{0}\times \binom{n}{n}+\binom{n}{1}\times \binom{n}{n-1}+...+\binom{n}{n}\times \binom{n}{0} = \binom{2n}{n}[/latex]

Lembrando que [latex]\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} [/latex]. A resposta é:

[latex]\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+...+\binom{n}{n}^2= \binom{2n}{n}[/latex].

*Obs: Tive que fazer uma solução um pouco mais "compacta" por conta do tempo, mas sinta-se a vontade para acrescentar qualquer coisa.

*Obs': não tenho certeza se essa era a solução que você sugeriu.

Exatamente!
Colocarei o tópico como concluído.

Só falta alguém resolver o desafio 3. Será que vão conseguir?
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Resolvido Re: Desafio 4: Matemática-Números Binomiais

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