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EN 2019 - Polinômios

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Mensagem por MarlonBrSKOITO Dom 28 Jun 2020, 10:54

Sejam p(x), q(x) e r(x) polinômios reais. Considere que p(x) cumpre os seguintes requisitos:
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OBS: Não achei o gabarito Sad
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Mensagem por Elcioschin Dom 28 Jun 2020, 12:41

Vou começar

q(x) = 3.x³ - 21.x + 18 ---> x = 1 é raiz ---> q(0) = 18

Aplicando Briott-Ruffini acha-se as outras duas raízes: x = -3 e x = 2

q(x) = 3.(x - 1).(x - 2).(x + 3)

Seja A(x) o quociente da divisão de p(x) por q(x) ---> P(x) = q(x).A(x)  

Para x = 0 ---> p(0) = q(0).A(0) ---> 162 = 18.A(0) ---> A(0) = 9


Última edição por Elcioschin em Dom 28 Jun 2020, 20:47, editado 1 vez(es)
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Mensagem por mauk03 Dom 28 Jun 2020, 18:51

Se q(x) = 3x² - 21x + 18 divide p(x) e p(x)/r(x) = q(x), então:
p(x) = r(x)q(x) = r(x)(3x² - 21x + 18)

Sendo gr(q(x)) > gr(r(x)) ⇒ gr(r(x)) < 3, então r(x) = ax² + bx + c. Assim:
p(x) = (ax² + bx + c)(3x² - 21x + 18)

p(0) = 162 ⇒ 18c = 162 ⇒ c = 9

Derivando p(x) e substituindo c por 9:
p'(x) = (2ax + b)(3x² - 21x + 18) + (ax² + bx + 9)(6x - 21)

p'(0) = -477 ⇒ 18b + 9(-21) = -477 ⇒ b = -16

Se 1 é raiz de p(x), então:
p'(1) = 0 ⇒ (a + b + 9)(-15) = 0 ⇒ a + b = -9 ⇒ a = -9 - b = -9 + 16 = 7

.:. r(x) = 7x² - 16x + 9
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