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ITA - 71 Inequação Logarítmica

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ITA - 71 Inequação Logarítmica  Empty ITA - 71 Inequação Logarítmica

Mensagem por JohnStark Sab 27 Jun 2020, 18:58

Determinando-se a condição sobre t para que a equação:

[latex]4^{x} - \left ( \log_{e}t + 3 \right ). 2^{x} - \log_{e}t = 0[/latex]


Admita duas raízes reais e distintas, obtemos:

a) [latex]e^{-3} \leqslant t \leq 1[/latex]

b) [latex]t \geqslant 0[/latex] 

c) [latex]e^{-1} < t < 1[/latex](GAB)


d) [latex]3 < t < e^{2}[/latex]

e) NDA


Obs: Queria saber onde estou errando no cálculo ou deixando de fazer alguma relação ou observação... Consegui desenvolver até aqui:

https://i.servimg.com/u/f64/19/92/37/72/whatsa11.jpg


Última edição por JohnStark em Sab 27 Jun 2020, 19:29, editado 1 vez(es)
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ITA - 71 Inequação Logarítmica  Empty Re: ITA - 71 Inequação Logarítmica

Mensagem por Rory Gilmore Sab 27 Jun 2020, 19:27

Se o enunciado que você colocou aqui no fórum estiver correto você errou logo na primeira linha, pois trocou o sinal de adição destacado abaixo pelo sinal de subtração:
4^x  - (ln t + 3).2^x + ln t = 0

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ITA - 71 Inequação Logarítmica  Empty Re: ITA - 71 Inequação Logarítmica

Mensagem por JohnStark Sab 27 Jun 2020, 19:30

@Rory Gilmore escreveu:Se o enunciado que você colocou aqui no fórum estiver correto você errou logo na primeira linha, pois trocou o sinal de adição destacado abaixo pelo sinal de subtração:
4^x  - (ln t + 3).2^x + ln t = 0
Foi erro de digitação mesmo... Me desculpa, já corrigi
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ITA - 71 Inequação Logarítmica  Empty Re: ITA - 71 Inequação Logarítmica

Mensagem por Rory Gilmore Sab 27 Jun 2020, 20:34

4^x - (ln t + 3).2^x - ln t = 0

(2^x)² - (ln t + 3).2^x - ln t = 0

y² - (ln t + 3).y - ln t = 0 

Restrições:
I) t > 0 (logaritmando).
II)  ∆ > 0 (duas raízes reais distintas).
III) - b/2a > 0
IV) c/a > 0
As restrições (III) e (IV) decorrem do fato de que as raízes de y² - (ln t + 3).y - ln t = 0 são sempre positivas pois y = (2^x) que é sempre positivo.

Solução de (I):
SI = t > 0

Solução de (II):
∆ > 0

[- (ln t + 3)]² - 4.(1).(- ln t) > 0

(ln t + 3)² - 4.(1).(ln t) > 0 

(ln t)² + 6.(ln t) + 9 + 4.(ln t) > 0

(ln t)² + 10.(ln t) + 9 > 0

(ln t)' + (ln t)'' = - 10
(ln t)'.(ln t)'' = 9

(ln t)' = - 1
(ln t)'' = - 9

(ln t) > - 1 ou (ln t) < - 9

ln t > ln e^(-1)
t > e^(-1)
t > 1/e

ln t < - 9
ln t < ln e^(- 9)
t < e^(- 9)
t < 1/e^9

SII = 0 < t < 1/e^9 ou t > 1/e (I)


Solução de (III):
- b/2a > 0 e c/a > 0 
{- [- (ln t + 3)]}/2.(1) > 0 
(ln t + 3)/2 > 0 
ln t + 3 > 0 
ln t > - 3
ln t > ln e^(-3)
t > e^(- 3)
SIII = t > 1/e^3


Solução de (IV):
c/a > 0 
(- ln t)/(1) > 0 
- ln t > 0 
ln t < 0
ln t < ln e^0
t < e^0
SIV = t < 1

Determinando a interseção entre (I), (II), (III) e (IV):
S =  {t > 0} Ո {t < 1/e^9 ou t > 1/e} Ո {t > 1/e^3} Ո {t < 1}
S = {t ∈ ℝ l 1/e < t < 1}.

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