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AFA - Números complexos

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Resolvido AFA - Números complexos

Mensagem por João Dourado Qua 17 Jun 2020, 20:29

Considere o número complexo z = AFA - Números complexos Mimetex_ e calcule AFA - Números complexos Mimetex_. No conjunto formado pelos quatro menores valores naturais de n para os quais AFA - Números complexos Mimetex_ é um número real,

a) existem números que estão em progressão aritmética de razão igual a 4
b) há elementos cuja soma é igual a 30
c) existem um único número ímpar
d) existe apenas um elemento que é número primo


Última edição por João Dourado em Qui 18 Jun 2020, 09:21, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: AFA - Números complexos

Mensagem por Lucius Draco Qua 17 Jun 2020, 20:59

OBS.: Veja o EDIT

Veja que:

[latex]z=\frac{1}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos (\frac{2\pi }{3})+i\cdot \sin (\frac{2\pi }{3})=e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}}[/latex]

Logo,

[latex]z^{n}=e^{i\cdot \frac{2n\pi }{3}}=cos(\frac{2\cdot n\cdot \pi }{3})+i\cdot \sin (\frac{2\cdot n\cdot \pi }{3})[/latex]

Como zn ∈ ℝ, temos:

[latex]\sin (\frac{2\cdot n\cdot \pi }{3})=0 \rightarrow \frac{2\cdot n\cdot \pi }{3}=k\cdot \pi \rightarrow n=\frac{3\cdot k}{2}, \forall k\in \mathbb{Z}[/latex]

*Considerando que {0} ∉ ℕ, temos:
[latex]n_{1}=3, n_{2}=6, n_{3}=9, n_{4}=12[/latex]
Letra b) e d) estão corretas.(Absurdo)


*Considerando que {0} ∈ ℕ, temos:
[latex]n_{1}=0, n_{2}=3, n_{3}=6, n_{4}=9[/latex]
Letra d) é a correta


Última edição por Lucius Draco em Qui 18 Jun 2020, 08:41, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: AFA - Números complexos

Mensagem por João Dourado Qui 18 Jun 2020, 08:23

Uma dúvida: pq o argumento é 2π/3  e não 5π/3 ? 

Encontrei que cosθ= 1/2   e  senθ= -√3/2  o que daria um argumento θ= 5π/3
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Resolvido Re: AFA - Números complexos

Mensagem por Lucius Draco Qui 18 Jun 2020, 08:40

EDIT.: perdão, estava com sono.

Veja que:

[latex]z=\frac{1}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos (\frac{5\pi }{3})+i\cdot \sin (\frac{5\pi }{3})=e^{i\cdot \frac{5\pi }{3}}[/latex]

Logo,

[latex]z^{n}=e^{i\cdot \frac{5n\pi }{3}}=cos(\frac{5\cdot n\cdot \pi }{3})+i\cdot \sin (\frac{5\cdot n\cdot \pi }{3})[/latex]

Como zn ∈ ℝ, temos:

[latex]\sin (\frac{5\cdot n\cdot \pi }{3})=0 \rightarrow \frac{5\cdot n\cdot \pi }{3}=k\cdot \pi \rightarrow n=\frac{3\cdot k}{5}, \forall k\in \mathbb{Z}[/latex]

*Considerando que {0} ∉ ℕ, temos:
[latex]n_{1}=3, n_{2}=6, n_{3}=9, n_{4}=12[/latex]
Letra b) e d) estão corretas.(Absurdo)


*Considerando que {0} ∈ ℕ, temos:
[latex]n_{1}=0, n_{2}=3, n_{3}=6, n_{4}=9[/latex]
Letra d) é a correta
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Resolvido Re: AFA - Números complexos

Mensagem por João Dourado Qui 18 Jun 2020, 09:20

Muito obrigado pela força cara. Excelente resolução!
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Resolvido Re: AFA - Números complexos

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