análise prova

[latex]\lim_{x\to p} f(x) = L \iff \forall \varepsilon \exists\delta(0<|x-p| < \delta \implies |f(x)-L| <\varepsilon)[/latex]

Como existe um delta para qualquer epsilon, eu posso fixar     [latex]\varepsilon =1[/latex] (podia ser qualquer valor positivo). Expandindo a segunda parte da definição, temos     [latex]|f(x)-L| <\varepsilon \iff |f(x)-L| <1 \iff L-1 < f(x) < L+1[/latex].

Fazendo [latex]r = \delta[/latex], [latex]\alpha = L-1 [/latex] e [latex]\beta = L+1 [/latex], temos da definição de limite que existe um delta tal que
     [latex]\begin{align*} 0<|x-p| < \delta \implies |f(x)-L| <1 & \iff \\~\\ 0 < |x-p| < r \implies \alpha < f(x) < \beta \end{align*}[/latex]


Creio que seja isso