Área de calota dada por intersecção de cone e esfera

1.
Um cone reto, de volume 18pi e altura 3, penetra, pelo vértice numa esfera de volume duplo do cone até que o volume da parte externa  seja 2/3 do volume do cone interno. Sabendo-se que o eixo do cone passa pelo centro da esfera, determine a área da calota definida pela intersecção dos dois sólidos
 

Vou começar

Sejam O, R o centro e raio da esfera e r o raio da base do cone
Seja V o vértice do cone, AB a sua base, sendo M o ponto médio de AB
Sejam C e D os pontos onde o cone intercepta a esfera e seja E o ponto onde VM intercepta a esfera
Sejam R o raio da esfera e r o raio da base do cone:

OE = R
AM = BM = r

Ve = 2.Vc ---> (4/3).pi.R³ = 2.(18).pi ---> R = 3

Vc = 18.pi ---> (1/3).pi.r².3 = 18.pi ---> r² = 18 ---> r = 3.√2

AV² = AM² + VM² ---> AV² = 18 + 3² ---> AV² = 27 ---> AV = 3.√3

No triângulo retângulo VMA, seja θ = A^VM = B^VM 

senθ = AM/AV ---> senθ = 3.√2/3.√3 ----> senθ = √6/3
cosθ = √3/3

Calcule agora o valor do ângulo A^VB = 2.θ ---> é o ângulo do setor circular procurado

Mas é área da calota esférica. Como achar as alturas com base no 2/3 do volume do cone?