Geometria Espacial

por Renato479 Seg 20 Abr 2020, 08:01

Complete corretamente a sentença e, a seguir, esboce uma figura representativa da situação descrita: Dados três pontos não colineares o conjunto dos pontos equidistantes deles é __________________ ao plano que os contém.

por **Emanuel Dias** Seg 20 Abr 2020, 08:25

Olá.

Vamos começar com um caso simples:

o lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois pontos dados

Todos os pontos que pertencem a mediatriz do segmento AB, concorda?

A ideia é usar essa propriedade para 3 pontos.

Dado 3 pontos não colineares, A,B e C.

O lugar geométrico do(s) ponto(s) que equidistam de A,B e C.

Lembrando que o ponto estará equidistante de dois pontos dados se pertence a mediatriz, então, 3 condições devem ser satisfeitas, simultaneamente:

o(s) ponto(s) pertence(rem) a mediatriz do segmento AB (1)
o(s) ponto(s) pertence(rem) a mediatriz do segmento AC (2)
o(s) ponto(s) pertence(rem) a mediatriz do segmento CB (3)

dessa forma, nosso lugar geométrico é a intersecção das 3 mediatrizes.

O fato de não serem colineares implica que o lugar geométrico do(s) ponto(s) que equidista de 3 pontos dados é a intersecção das 3 mediatrizes, que é apenas um ponto.

Deu para entender?

por **Emanuel Dias** Seg 20 Abr 2020, 08:36

Complementando.

O ponto citado é na verdade, o circuncentro do triângulo formado, o caso que mostrei acima é o caso em que o circuncentro está sobre um dos lados, mas não ocorre sempre.

Note em toda figura, que a distância do circuncentro até cada ponto do triângulo é o raio da circunferência, afirmando a equidistância.

por Renato479 Seg 20 Abr 2020, 08:52

Emanuel Dias escreveu:
Olá.

Vamos começar com um caso simples:

o lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois pontos dados

Todos os pontos que pertencem a mediatriz do segmento AB, concorda?

A ideia é usar essa propriedade para 3 pontos.

Dado 3 pontos não colineares, A,B e C.

O lugar geométrico do(s) ponto(s) que equidistam de A,B e C.

Lembrando que o ponto estará equidistante de dois pontos dados se pertence a mediatriz, então, 3 condições devem ser satisfeitas, simultaneamente:

o(s) ponto(s) pertence(rem) a mediatriz do segmento AB (1)
o(s) ponto(s) pertence(rem) a mediatriz do segmento AC (2)
o(s) ponto(s) pertence(rem) a mediatriz do segmento CB (3)

dessa forma, nosso lugar geométrico é a intersecção das 3 mediatrizes.

O fato de não serem colineares implica que o lugar geométrico do(s) ponto(s) que equidista de 3 pontos dados é a intersecção das 3 mediatrizes, que é apenas um ponto.

Deu para entender?

Consegui sim, obrigado.
A resposta então seria de que estaria contido no plano?

por **Emanuel Dias** Seg 20 Abr 2020, 09:14

Não. Eu fiz o esboço em 2D, mas tente imaginar em 3D, não estou conseguindo abrir o geogebra 3D, vou tentar mais tarde, a questão é, em 2D temos um único ponto, mas em 3D, as mediatrizes podem ser direcionadas em uma infinidade de ângulos, mas em todos os casos, todas essas intersecções são colineares ao circuncentro do 2D, de modo que em 3D, dados 3 pontos não colineares, o conjunto dos pontos equidistantes deles é uma reta perpendicular ao plano que os contém. Vou tentar fazer uns esboços em 3D, aguarde uns minutos.

por **Emanuel Dias** Seg 20 Abr 2020, 09:41

Em 3D seria algo assim, a reta em vermelho são todos os pontos que equidistam dos 3 pontos, essa reta contém o circuncentro, é perpendicular ao plano do triângulo formado em 2D pelos 3 pontos.

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