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Geometria analítica - Lugar geométrico

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Mensagem por hygorvv Qui 18 Ago 2011, 17:30

Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de maneira que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da base CBA.
Spoiler:
Resposta que encontrei: (x-2)² - (y²/3)=1 - Hipérbole

Resolvi esse problema a algum tempo atrás, da maneira como resolvi, achei a questão complicada. Não tenho o gabarito oficial pois o autor da questão não deixou. Usei conceitos básicos de limites de funções, mas nada que "apele" e foi muito básico. Mas a questão em si, imagino que seja de nível médio (Ensino Médio).

hygorvv
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Mensagem por Quasar Sab 20 Ago 2011, 01:01

Geometria analítica - Lugar geométrico 4308X

Pela figura temos:



Eliminando alfa obtém-se a equação desejada. É exatamente a mesma que vc encontrou. Laughing
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Mensagem por hygorvv Seg 22 Ago 2011, 11:59

Quasar, poderia me mostrar como eliminar α? Não consegui.
Agradeço a atenção.

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Mensagem por Quasar Seg 22 Ago 2011, 13:56

hygorvv,

na verdade, a substituição será na tangente.
Na primeira equação, use a relação
Geometria analítica - Lugar geométrico Gif
e substitua a tangente por aquela obtida na segunda equação.
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Mensagem por hygorvv Seg 22 Ago 2011, 14:08

MANDOU MUITO BEM! Meus parabéns!!! Já posto como fiz (verá a trabalheira kkkk )

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Mensagem por hygorvv Seg 22 Ago 2011, 14:34

seja ABC=α
BAC=2α

notemos que;
para α =45º -> 2α =90 (triângulo retângulo)
com isso, achamos as coordenadas do vértice C (0,3) ou (0,-3).

agora iremos calcular a abscissa do vértice C no primeiro quadrante
temos entao por relações trigonométrica no triangulo ABC, sendo H a altura do mesmo, e 'x' a abscissa
H=tg(α).(3-x)
H=tg(2α).x
igualando
tg(α).(3-x)=tg(2α).x
deselvolvendo, chegamos em


quando α-> 0
temos

logo, o lugar geométrico passa pelo ponto (1,0), (0,3) e (0,-3)
notemos que o angulo limite para α é π/3(ou seja, α <π/3), (a soma dos angulos internos de um triangulo vale π)

vamos calcular a abscissa 'x' no segundo quadrante agora
por relações trigonométricas
H=tg(α)(3+x)
H=tg(π-2α).x
igualando
tg(α)(3+x)=tg(π-2α).x
(3+x)tg(α)=-xtg(2α)
3tg(α)+xtg(α)=-xtg(2α)
xtg(2α)+xtg(α)=-3tg(α)

quando , temos:


quando , temos

o que nos leva a crer que o lado BC está contido em uma assíntota de equação

uma assíntota de uma hipérbole (pois vai de -oo até +oo)

equação da hipérbole

do coeficiente angular da assintota

notemos ainda que c_y=0 (pelo ponto (1,0) sendo o ponto mais próximo da hipérbole)
daí
temos:


substituindo o ponto (1,0), obtemos;



substituindo o ponto (0,3)



substituindo a^2


c_x=2
logo, a=1

a equação da hipérbole(lugar geométrico) será:


Fim.

O que uma falta de visão não faz kkkkkk.

Abraço.

hygorvv
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