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Mecânica Clássica (Ensino Superior)

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Resolvido Mecânica Clássica (Ensino Superior)

Mensagem por Loreti Ter 18 Fev 2020, 13:19

Se \boldsymbol{r} e \boldsymbol{\dot{r}} = \boldsymbol{v} são ambas funções explícitas do tempo, demonstre que:

\frac{d}{dt}[\boldsymbol{r\times (v\times r))}] = r^{2}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{(r\cdot v)v} - (v^{2}+\boldsymbol{r\cdot a})\boldsymbol{r}

Este exercício foi retirado do livro "Dinâmica clássica de partículas e sistemas" de Stephen T. Norton e Jerry B. Marion.

A minha dúvida é se uma derivada de uma função explicita do tempo, \boldsymbol{r(t)} = x\boldsymbol{\widehat{i}} + y\boldsymbol{\widehat{j}} + z\boldsymbol{\widehat{k}}, seria do tipo, \boldsymbol{\dot{r}(t)} = \boldsymbol{v(t)} = \dot{x}\boldsymbol{\widehat{i}} + \dot{y}\boldsymbol{\widehat{j}} + \dot{z}\boldsymbol{\widehat{k}}. Se sim, eu calculei as derivadas corretamente, e tentei achar a relação da questão para uma coordenada só, para economizar, mas não consegui.


Última edição por Loreti em Dom 23 Fev 2020, 16:55, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Mecânica Clássica (Ensino Superior)

Mensagem por LPavaNNN Sex 21 Fev 2020, 00:55

\frac{d(v\chi r)}{dt}=\dot v \chi r+v\chi \dot r=a\chi r\\\dot r\chi(v\chi r)+r\chi \frac{d (v\chi r)}{dt}=v\chi (v\chi r)+r\chi(a\chi r)\\=v(v.r)- r(v.v)+ a(r.r)- r(r.a)=(r.r) a+(v.r) v -(v.v+r.a)r\\OBS:a\chi(b\chi c)=b(a.c)-c(a.b)


A questão é sobre vetores, no geral, veja que ele não especifica o sistema de coordenada de r, poderia ser cartesiano, polar, normal, etc. Assim, vc n pode desenvolver baseado em cima de um sistema cartesiano, pois vc provaria que a igualdade seria válida pra ele, mas não para todos sistemas. 

OBS: Todos os termos do desenvolvimento são vetores em qualquer parte da demonstração.


Última edição por LPavaNNN em Sex 21 Fev 2020, 17:15, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Mecânica Clássica (Ensino Superior)

Mensagem por Loreti Sex 21 Fev 2020, 17:09

Ótimo! Não conhecia essa relação que você colocou na observação. Muito obrigado!

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Resolvido Re: Mecânica Clássica (Ensino Superior)

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