Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

EEAR - CFS B1 - 2016

Ir em baixo

EEAR - CFS  B1 - 2016 Empty EEAR - CFS B1 - 2016

Mensagem por L. José Ter 18 Fev 2020, 06:00

quadrilátero ABCD tem seus vértices localizados em um
plano cartesiano ortogonal, nos pontos A (1,1), B (2,3), C (2,-2)
e D (0,-1). A área desse quadrilátero é, em unidades de área,
igual a
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3

GAbarito: b)


Colocarei a a imagem da resolução feita pela propria EEAR. Fiquei com dúvida e gostaria de saber qual é o assunto da questão pois tentei responder usando  o plano cartesiano e não consegui, enquanto na resolução usaram matrizes.EEAR - CFS  B1 - 2016 Fadffa10

L. José
Jedi
Jedi

Mensagens : 212
Data de inscrição : 09/07/2018
Idade : 22
Localização : Recife, Pernambuco, Brasil

Voltar ao Topo Ir em baixo

EEAR - CFS  B1 - 2016 Empty Re: EEAR - CFS B1 - 2016

Mensagem por Emanuel Dias Ter 18 Fev 2020, 07:11

Bom dia.

Seja ABC um triângulo qualquer, e D a altura relativa ao lado AB, vamos provar que a área do triângulo é numericamente igual a metade do determinante da coordenada dos vértices.

EEAR - CFS  B1 - 2016 Scree221



\\Montando \, \, o \, \, determinante:\\\\\begin{vmatrix}
x_a &y_a  &1 \\
x_b &y_b  &1 \\
x_c &y_c  &1
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
x_a &y_a \\
x_b&y_b \\
x_c&y_c
\end{vmatrix}=x_ay_b+y_ax_c+x_by_c-x_cy_b-x_ay_c-y_ax_b\, \, (I)\\\\Portanto,\, \, o\, \, \, \, determinante\, \, dos\, \, v\acute{e}rtices\, \, do\, \, \Delta \, \, \acute{e}:\\(x_ay_b+y_ax_c+x_by_c-x_cy_b-y_ax_b)\, \, \, \\\\Calculando\, \, a\, \, \acute{a}rea\, \, do\, \, \Delta :\, \, S=\frac{1}{2}base\cdot altura\\\\altura=dist\hat{a}ncia\, \, v\acute{e}rtice\, \, c\, \, a\, \, reta\, \, AB\\\\determinando\, \, a\, \, reta\, \, AB:m=\frac{y_a-y_b}{x_a-x_b}\\y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow y-y_a=(\frac{y_a-y_b}{x_a-x_b})(x-x_a)\\\\Calculo\, \, da\, \, dist\hat{a}ncia\, \,  DC:\\\\S_D_C=\frac{|(y_A-y_B)x_c+(x_b-x_a)y_c+(x_ay_b-x_by_a)|}{\sqrt{(y_a-y_b)^2+(x_b-x_a)^2}}\\\\Em\, \, (I)\, \, reescrevemos:x_c(y_a-y_b)+y_c(x_b-x_a)+(x_ay_b-y_ax_b)\\\\


\\S_D_C=\frac{\begin{vmatrix}
x_b &y_b  &1 \\
x_c&y_c  &1 \\
x_a &y_a  &1
\end{vmatrix}}{\sqrt{(y_a-y_b)^2+(x_b-x_a)^2}}\, \, \, (III)\\\\\\Calculando\, \, a\, \, medida\, \, de\, \, AB\, (base):AB=\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)}^2\\\\Por\, \, fim,\, \, S\Delta =\frac{1}{2}\frac{\begin{vmatrix}
x_b &y_b  &1 \\
x_c&y_c  &1 \\
x_a &y_a  &1
\end{vmatrix}}{\sqrt{(y_a-y_b)^2+(x_b-x_a)^2}}\cdot \sqrt{(x_a-x_b)+(y_a-y_b)^2}\\\\\\S\Delta =\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
x_a &y_a  &1 \\
x_b &y_b  &1 \\
x_c&y_c  &1
\end{vmatrix}


C.Q.D

A área pelo determinante é o que aparece na resolução.
Emanuel Dias
Emanuel Dias
Fera
Fera

Mensagens : 1662
Data de inscrição : 15/12/2018
Idade : 19
Localização : Heliodora-MG, Brazil

Voltar ao Topo Ir em baixo

EEAR - CFS  B1 - 2016 Empty Re: EEAR - CFS B1 - 2016

Mensagem por L. José Ter 18 Fev 2020, 08:27

Não entendi como se aplica o determinante nessa situação, nunca tinha visto antes, mas obrigado.

L. José
Jedi
Jedi

Mensagens : 212
Data de inscrição : 09/07/2018
Idade : 22
Localização : Recife, Pernambuco, Brasil

Voltar ao Topo Ir em baixo

EEAR - CFS  B1 - 2016 Empty Re: EEAR - CFS B1 - 2016

Mensagem por Emanuel Dias Ter 18 Fev 2020, 16:29

@L. José escreveu:Não entendi como se aplica o determinante nessa situação, nunca tinha visto antes, mas obrigado.
Como a demonstração, a determinante das coordenadas dos vértices é metade da área do triângulo. Só isso que a resolução fez, calculou a área assim.
Emanuel Dias
Emanuel Dias
Fera
Fera

Mensagens : 1662
Data de inscrição : 15/12/2018
Idade : 19
Localização : Heliodora-MG, Brazil

Voltar ao Topo Ir em baixo

EEAR - CFS  B1 - 2016 Empty Re: EEAR - CFS B1 - 2016

Mensagem por Elcioschin Ter 18 Fev 2020, 17:54

L. José

Sugiro pesquisar a fórmula em:

Geometria Analítica - Área do triângulo em função das coordenadas dos vértices.

Depois basta separar o quadrilátero em dois triângulos e aplicar duas vezes.
Elcioschin
Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 61365
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 74
Localização : Santos/SP

Voltar ao Topo Ir em baixo

EEAR - CFS  B1 - 2016 Empty Re: EEAR - CFS B1 - 2016

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Voltar ao Topo Ir em baixo

Voltar ao Topo


 
Permissão neste fórum:
Você não pode responder aos tópicos neste fórum