Densidade Uniforme de Corrente

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Resolvido Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 09:57

Considere sendo 2,0\,.\,10^{5}\,\frac{A}{m^2} a densidade uniforme de corrente ao longo da seção reta de um fio cilindrico que apresenta raio R\,=\,2,0\,mm. Calcule a corrente na parte externa do fio, entre R/2 e R.

Densidade Uniforme de Corrente 2Q==

Gabarito:

***************************

Minha resposta não bate com o gabarito da questão. Envio minha solução para apreciação.. O que há de errado?

i=\int \overrightarrow{J}\,.\,d\overrightarrow{A}

Considerei como área:

A'=\pi\,R^2-\pi\,\frac{R^2}{4}=\frac{3}{4}(\pi\,R^2)

i= \left (  \frac{3}{4}\right )(\pi)(J)\int_{R/2}^{R}R^2

Resolvendo a equação acima, i= 1,25\,mA


Obrigada,

Hipatia


Última edição por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 16:25, editado 2 vez(es)
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Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 14:51

Penso que o desenvolvimento da sua integral esteja errada. Veja duas situações:

Primeira situação:

\\\mathrm{Sendo:\ }A=\frac{3}{4}\pi R^2

\\i=\int \vec{J}.\vec{dA}=J\int dA=JA=\frac{3}{4}\pi J R^2

Segunda situação:

\\i=\int \vec{J}.\vec{dA}=J\int dA=J\int_{\frac{R}{2}}^{R}(2\pi r)dr=2\pi J\left [ \frac{r^2}{2} \right ]_{\frac{R}{2}}^{R}=\frac{3}{4}\pi JR^2

Do jeito que você desenvolveu você diz que o diferencial de área equivale a R², o que não é verdade. Tente desse jeito.

Nota: caso você não enxergue o diferencial de área que eu peguei na segunda situação é só falar.


Última edição por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 14:54, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 14:53

Adicionei mais uma informação na primeira postagem.
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Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 15:28

Giovana, boa tarde!

Vou postar minha resolução aqui. Acredito que fique mais fácil de eu mesma perceber onde está o meu erro e também de você me orientar.

i=\int \overrightarrow{J}.d\overrightarrow{A}

A=\frac{3}{4}\,\pi\,R^2

i=\frac{3\,}{4}\pi\,J\int_{R/2}^{R}R^2\,dR

i=\frac{3\,}{4}\pi\,J\,\frac{7R^{3}}{24}

Substituindo os valores ainda não chego no gabarito.

Obrigada,

Hipatia
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Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 15:42

Oiii, Hipatia!

O que está errado é o seguinte: você está substituindo o diferencial de área, dA, por (3/4)πR², o que está errado. Outra coisa, o seu diferencial não pode ser dR. A grandeza R é uma constante também. O diferencial de área em questão é dA=(2πr)dr. Note que eu tomei "r" como a grandeza variável no cálculo da integral.

Você entende o porquê de dA=(2πr)dr?

Caso você queira fazer utilizando A=(3/4)πR², você deve fazer da forma como eu indiquei na primeira situação. Agora, se você quiser fazer utilizando propriamente o diferencial de área você terá que fazer utilizando a segunda situação que eu indiquei.
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Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 16:00

Giovana Martin escreveu:
Você entende o porquê de dA=(2πr)dr?

Boa tarde, Giovana!

Agora sim ficou mais claro para mim. Obrigada pela paciência e atenção.

Sobre essa parte que citei em sua resposta: Você chama para o vetor diferencial de área um pedaço infinitesimal da área lateral do cilindro, correto? Se for, por que o comprimento do cilindro não entra em questão?

Obrigada,

Hipatia
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Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 16:18

Ah, que isso. Disponha Smile! Que bom que deu para entender. O resultado bateu certinho?

"Você chama para o vetor diferencial de área um pedaço infinitesimal da área lateral do cilindro, correto?"

Sim e não. A ideia é, de fato, pegar um vetor diferencial de área (o pedaço infinitesimal), mas não é do cilindro, mas sim da área da seção pela qual passa a corrente, por isso desconsideramos o comprimento do cilindro. Uma imagem para facilitar:

Densidade Uniforme de Corrente Images10

Desenhe este trecho em vermelho entre R/2 e R na figura que você postou. Do centro da figura que você postou até o trecho em vermelho o comprimento é "r", certo?

Note que podemos transformar este trecho em vermelho na seguinte figura:

Densidade Uniforme de Corrente Scree192

Daí concluímos que dA=2∏r x dr.
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Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 16:24

O resultado bateu certinho sim, Giovana.

Muito boa a imagem para entender que o pedaço infinitesimal que pego deve ser da seção pela qual a corrente passa. Dessa forma, de fato, o comprimento do cilindro é desconsiderado.  

Muito obrigada,

Hipatia
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Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 16:26

Disponha!! Que bom que deu para entender Smile.
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Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

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