Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Densidade Uniforme de Corrente

Ir em baixo

Resolvido Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 09:57

Considere sendo 2,0\,.\,10^{5}\,\frac{A}{m^2} a densidade uniforme de corrente ao longo da seção reta de um fio cilindrico que apresenta raio R\,=\,2,0\,mm. Calcule a corrente na parte externa do fio, entre R/2 e R.

Densidade Uniforme de Corrente 2Q==

Gabarito:

***************************

Minha resposta não bate com o gabarito da questão. Envio minha solução para apreciação.. O que há de errado?

i=\int \overrightarrow{J}\,.\,d\overrightarrow{A}

Considerei como área:

A'=\pi\,R^2-\pi\,\frac{R^2}{4}=\frac{3}{4}(\pi\,R^2)

i= \left (  \frac{3}{4}\right )(\pi)(J)\int_{R/2}^{R}R^2

Resolvendo a equação acima, i= 1,25\,mA


Obrigada,

Hipatia


Última edição por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 16:25, editado 2 vez(es)
Hipatia de Alexandria
Hipatia de Alexandria
iniciante

Mensagens : 40
Data de inscrição : 24/01/2020

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 14:51

Penso que o desenvolvimento da sua integral esteja errada. Veja duas situações:

Primeira situação:

\\\mathrm{Sendo:\ }A=\frac{3}{4}\pi R^2

\\i=\int \vec{J}.\vec{dA}=J\int dA=JA=\frac{3}{4}\pi J R^2

Segunda situação:

\\i=\int \vec{J}.\vec{dA}=J\int dA=J\int_{\frac{R}{2}}^{R}(2\pi r)dr=2\pi J\left [ \frac{r^2}{2} \right ]_{\frac{R}{2}}^{R}=\frac{3}{4}\pi JR^2

Do jeito que você desenvolveu você diz que o diferencial de área equivale a R², o que não é verdade. Tente desse jeito.

Nota: caso você não enxergue o diferencial de área que eu peguei na segunda situação é só falar.


Última edição por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 14:54, editado 1 vez(es)
Giovana Martins
Giovana Martins
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 5460
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 20
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 14:53

Adicionei mais uma informação na primeira postagem.
Giovana Martins
Giovana Martins
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 5460
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 20
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 15:28

Giovana, boa tarde!

Vou postar minha resolução aqui. Acredito que fique mais fácil de eu mesma perceber onde está o meu erro e também de você me orientar.

i=\int \overrightarrow{J}.d\overrightarrow{A}

A=\frac{3}{4}\,\pi\,R^2

i=\frac{3\,}{4}\pi\,J\int_{R/2}^{R}R^2\,dR

i=\frac{3\,}{4}\pi\,J\,\frac{7R^{3}}{24}

Substituindo os valores ainda não chego no gabarito.

Obrigada,

Hipatia
Hipatia de Alexandria
Hipatia de Alexandria
iniciante

Mensagens : 40
Data de inscrição : 24/01/2020

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 15:42

Oiii, Hipatia!

O que está errado é o seguinte: você está substituindo o diferencial de área, dA, por (3/4)πR², o que está errado. Outra coisa, o seu diferencial não pode ser dR. A grandeza R é uma constante também. O diferencial de área em questão é dA=(2πr)dr. Note que eu tomei "r" como a grandeza variável no cálculo da integral.

Você entende o porquê de dA=(2πr)dr?

Caso você queira fazer utilizando A=(3/4)πR², você deve fazer da forma como eu indiquei na primeira situação. Agora, se você quiser fazer utilizando propriamente o diferencial de área você terá que fazer utilizando a segunda situação que eu indiquei.
Giovana Martins
Giovana Martins
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 5460
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 20
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 16:00

Giovana Martin escreveu:
Você entende o porquê de dA=(2πr)dr?

Boa tarde, Giovana!

Agora sim ficou mais claro para mim. Obrigada pela paciência e atenção.

Sobre essa parte que citei em sua resposta: Você chama para o vetor diferencial de área um pedaço infinitesimal da área lateral do cilindro, correto? Se for, por que o comprimento do cilindro não entra em questão?

Obrigada,

Hipatia
Hipatia de Alexandria
Hipatia de Alexandria
iniciante

Mensagens : 40
Data de inscrição : 24/01/2020

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 16:18

Ah, que isso. Disponha Smile! Que bom que deu para entender. O resultado bateu certinho?

"Você chama para o vetor diferencial de área um pedaço infinitesimal da área lateral do cilindro, correto?"

Sim e não. A ideia é, de fato, pegar um vetor diferencial de área (o pedaço infinitesimal), mas não é do cilindro, mas sim da área da seção pela qual passa a corrente, por isso desconsideramos o comprimento do cilindro. Uma imagem para facilitar:

Densidade Uniforme de Corrente Images10

Desenhe este trecho em vermelho entre R/2 e R na figura que você postou. Do centro da figura que você postou até o trecho em vermelho o comprimento é "r", certo?

Note que podemos transformar este trecho em vermelho na seguinte figura:

Densidade Uniforme de Corrente Scree192

Daí concluímos que dA=2∏r x dr.
Giovana Martins
Giovana Martins
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 5460
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 20
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Hipatia de Alexandria em Sex 24 Jan 2020, 16:24

O resultado bateu certinho sim, Giovana.

Muito boa a imagem para entender que o pedaço infinitesimal que pego deve ser da seção pela qual a corrente passa. Dessa forma, de fato, o comprimento do cilindro é desconsiderado.  

Muito obrigada,

Hipatia
Hipatia de Alexandria
Hipatia de Alexandria
iniciante

Mensagens : 40
Data de inscrição : 24/01/2020

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Giovana Martins em Sex 24 Jan 2020, 16:26

Disponha!! Que bom que deu para entender Smile.
Giovana Martins
Giovana Martins
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 5460
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 20
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Resolvido Re: Densidade Uniforme de Corrente

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Voltar ao Topo Ir em baixo

Voltar ao Topo


 
Permissão deste fórum:
Você não pode responder aos tópicos neste fórum