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Função Composta

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Resolvido Função Composta

Mensagem por CastielBarbaBranca Seg 20 Jan 2020, 12:18

Se f:IR→IR é da forma f(x)=ax+b e verifica f(f(x))=x+1 para todo x real,calcule os valores de a e b.

Eu parei na seguinte equação e depois travei.

a(ax+b)+b=x+1 (daqui não sei como seguir)


Última edição por CastielBarbaBranca em Seg 20 Jan 2020, 13:33, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Função Composta

Mensagem por Giovana Martins Seg 20 Jan 2020, 12:37

Até aí você chegou numa igualdade entre polinômios. Para que eles sejam iguais eles devem ter o mesmo grau e devem ter os coeficientes iguais. A primeira condição já foi satisfeita. Ambos são de grau 1. Agora é só condicionar os coeficientes para que eles sejam iguais.

\\ 1.x+1=(a^2)x+(ab+b)\to \left\{\begin{matrix}
a^2=1\\
ab+b=1
\end{matrix}\right.\\\\\therefore \ a=\pm 1\ \therefore \ \left\{\begin{matrix}
a=1\to b=\frac{1}{2}\\
a=-1\to 0=1\ (\mathrm{Falso})
\end{matrix}\right.\\\\\mathrm{Logo: }\ (a,b)=\left ( 1,\frac{1}{2} \right )\to f(x)=x+\frac{1}{2}
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Resolvido Re: Função Composta

Mensagem por CastielBarbaBranca Seg 20 Jan 2020, 13:33

Entendi, nunca pensaria dessa maneira.Obrigado
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Resolvido Re: Função Composta

Mensagem por Giovana Martins Seg 20 Jan 2020, 13:56

Castiel, este pensamento não me surgiu do nada. Não é primeira vez que faço questões assim. Não sei se você está usando algum livro para estudar funções, mas geralmente os livros abordam a ideia de igualdade de polinômios na teoria exposta.

Disponha.
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