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Gravitação

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Resolvido Gravitação

Mensagem por MatheusVeiga18 Seg 13 Jan 2020, 11:10

Considere casca esférica fina de massa M e raio R fixa em uma região do espaço. Um pequeno orifício é feito na casca e uma massa m é solta do repouso, de uma distância R do orifício, e se movimenta em uma linha de ação que passa pelo buraco e pelo centro da casca. Considerando G a constante de gravitação universal, quanto tempo demora para que a massa m se desloque desde o orifício até a posição diametralmente oposta?

Gravitação Sem_tz10

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Última edição por MatheusVeiga18 em Seg 13 Jan 2020, 21:17, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Gravitação

Mensagem por Vitor Ahcor Seg 13 Jan 2020, 14:43

Utilizando o Teorema das cascas esféricas de Newton, podemos dizer que a força gravitacional resultante que a casca aplica na massinha m é 0 (dentro dela). Assim, g = 0 m/s² no interior da casca. Logo, no interior da casca, a massinha realizará um movimento uniforme com uma velocidade v à determinar.

Pela conservação da energia mecânica, temos:

 E_{M, \, em\:  cima} = E_{M,\:  em \, baixo}

 \frac{-GMm}{2R} = \frac{-GMm}{R}+\frac{mv^2}{2}

 v = \sqrt{\frac{GM}{R}} 

Então, o tempo t pedido, que é 2R/v, vale:

 t = \frac{2R}{\sqrt{\frac{GM}{R}}} = 2\sqrt{\frac{R^3}{GM}}.

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