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(CN) Mmc e mdc

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Mensagem por Lukinhas26 Sex 10 Jan 2020, 11:13

Ache dois números inteiros a e b, sabendo que sua soma seja 651 e que o quociente de seus mmc pelo mdc seja igual a 108.










Gabarito::
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Mensagem por Elcioschin Sex 10 Jan 2020, 15:41

a + b = 651 ---> >

mmc(a, b)/mdc(a, b) = 108 ---> mmc(a, b) = 108.mdc(a, b) ---> II

mmc(a, b).mdc(a, b) = a.b ---> III

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Mensagem por Lukinhas26 Dom 12 Jan 2020, 12:19

Não consegui, mestre.
Poderia desenvolver um pouco mais?
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(CN) Mmc e mdc Empty Re: (CN) Mmc e mdc

Mensagem por Elcioschin Seg 13 Jan 2020, 11:57

Sejam M  = mmc(a, b) e m = mdc(a, b)

a + b = 651 ---> a + b = 3.7.31 ---> b = 3.7.31 - a ---> I

M/m = 108---> M = 108.m ---> II

M.m = a.b ---> (108.m).m = a.(3.7.31 - a) ---> a² - (3.7.31).a + 108.m² = 0

Temos uma equação do 2º grau na variável a:

 = (3.7.31)² - 4.a.(108.m²) --->  = (3.7.31)² - 432.m² --->  ∆ = (3.7.31)² - (24.3³).m²

Devemos ter ∆ ≥ 0 --->  (3.7.31)² - (24.3².3).m² ≥ 0 ---> m  7.31/12 ---> m ≤ 18


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