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Conceito por trás da Regra da Substituição

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Conceito por trás da Regra da Substituição Empty Conceito por trás da Regra da Substituição

Mensagem por samuelmacedo1108 6/1/2020, 7:26 pm

Oi, estou estudando cálculo pelo livro Cálculo 1 do James Stewart. Porém, fiquei travado na regra da substituição, usada na resolução de integrais. Na explicação do James, ele manipula a notação da derivada algebricamente e eu não entendo porque isso é permitido. Exemplo:

\frac{d}{dx}(x^{^{2}}+1) = 2x      \rightarrow  d(x^{^{2}}+1) = 2x.dx

samuelmacedo1108
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Conceito por trás da Regra da Substituição Empty Re: Conceito por trás da Regra da Substituição

Mensagem por Elcioschin 6/1/2020, 8:32 pm

Não foi usada Regra da substituição

.d .................d ............d
---(x² + 1) = ----(x²) + ----(1) = 2.x + 0 = 2.x --->
dx ................dx ..........dx

.
---(x² + 1) = 2.x ---> d(x² + 1) = 2.x.dx
dx
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Conceito por trás da Regra da Substituição Empty Re: Conceito por trás da Regra da Substituição

Mensagem por samuelmacedo1108 7/1/2020, 9:57 am

A minha dúvida não é a resolução dessa derivada. Eu aprendi que \frac{d}{dx} é apenas uma notação para derivada (assim como log é uma notação para logaritmo) e, portanto, não deve ser interpretada como uma fração.

Se \frac{d}{dx} não é uma fração, porque é permitido manipular algebricamente o ''denominador''?

samuelmacedo1108
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Mensagem por Elcioschin 7/1/2020, 10:47 am

d/dx não é uma fração.

Mas dy/dx é uma fração, em que y = (x² + 1)

Logo o denominador dx pode passar multiplicando para o 2º membro.
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Mensagem por samuelmacedo1108 7/1/2020, 5:49 pm

Obrigado Elcioschin

samuelmacedo1108
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Conceito por trás da Regra da Substituição Empty Re: Conceito por trás da Regra da Substituição

Mensagem por lucaswsn 7/1/2020, 7:28 pm

Isso gera confusões para quem está iniciando os estudos em cálculo, recomendo olhar a definição de diferencial e suas implicações, no próprio livro do Stewart tem, cap. 3.10 7ed, isso será útil nos estudos posteriores, principalmente na parte de diferencial total.

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Mensagem por SnoopLy 7/1/2020, 7:56 pm

Falando rigorosamente, dy/dx não é uma fração. Considerar como uma fração é possível por causa de um teorema, um amigo meu me disse que é o teorema da função inversa, mas como não estou nesse patamar, não sei lhe confirmar.
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Mensagem por Elcioschin 7/1/2020, 8:26 pm

Imagine um móvel em MRUV, quem tem uma variação de velocidade V = Va - Vb num intervalo de tempo ∆t = ta - tb

A aceleração deste movimento é dada por a = V/t ---> V = a.∆t

Se a variação da velocidade e o intervalo de tempo forem infinitesimais, teremos:

a = dV/dt o valor da aceleração é dado pela derivada da função velocidade em relação ao tempo. Podemos, portanto escrever:

dV = a.dt

Provando isto:

V = Vo + a.t ---> a = dV/dt ---> a = 0 + a ---> a = a ---> OK

Logo, de um modo geral, para qualquer função y = f(x) e derivada y'(x) :

dy/dx = y'(x) ---> dy = y'(x).dx
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Mensagem por SnoopLy 8/1/2020, 12:31 am

E o problema está exatamente no caso da variação ser não finita, e sim infinitesimal. A derivada pode ser considerada um operador, mas essa "demonstração" não seria válida numa prova de matemática pura, mas a física basicamente não liga pra essas formalidades, contanto que funcione...


Última edição por SnoopLy em 8/1/2020, 12:57 am, editado 1 vez(es)
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Mensagem por SnoopLy 8/1/2020, 12:44 am

https://math.stackexchange.com/questions/21199/is-frac-textrmdy-textrmdx-not-a-ratio

no link acima tem uma discussão sobre isso, o buraco é mais embaixo do que parece...
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