Conceito por trás da Regra da Substituição
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Conceito por trás da Regra da Substituição
Oi, estou estudando cálculo pelo livro Cálculo 1 do James Stewart. Porém, fiquei travado na regra da substituição, usada na resolução de integrais. Na explicação do James, ele manipula a notação da derivada algebricamente e eu não entendo porque isso é permitido. Exemplo:
\frac{d}{dx}(x^{^{2}}+1) = 2x \rightarrow d(x^{^{2}}+1) = 2x.dx
samuelmacedo1108- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 06/01/2020
Re: Conceito por trás da Regra da Substituição
Não foi usada Regra da substituição
.d .................d ............d
---(x² + 1) = ----(x²) + ----(1) = 2.x + 0 = 2.x --->
dx ................dx ..........dx
.d
---(x² + 1) = 2.x ---> d(x² + 1) = 2.x.dx
dx
.d .................d ............d
---(x² + 1) = ----(x²) + ----(1) = 2.x + 0 = 2.x --->
dx ................dx ..........dx
.d
---(x² + 1) = 2.x ---> d(x² + 1) = 2.x.dx
dx
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71437
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Conceito por trás da Regra da Substituição
A minha dúvida não é a resolução dessa derivada. Eu aprendi que \frac{d}{dx} é apenas uma notação para derivada (assim como log é uma notação para logaritmo) e, portanto, não deve ser interpretada como uma fração.
Se\frac{d}{dx} não é uma fração, porque é permitido manipular algebricamente o ''denominador''?
Se
samuelmacedo1108- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 06/01/2020
Re: Conceito por trás da Regra da Substituição
d/dx não é uma fração.
Mas dy/dx é uma fração, em que y = (x² + 1)
Logo o denominador dx pode passar multiplicando para o 2º membro.
Mas dy/dx é uma fração, em que y = (x² + 1)
Logo o denominador dx pode passar multiplicando para o 2º membro.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71437
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Conceito por trás da Regra da Substituição
Obrigado Elcioschin
samuelmacedo1108- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 06/01/2020
Re: Conceito por trás da Regra da Substituição
Isso gera confusões para quem está iniciando os estudos em cálculo, recomendo olhar a definição de diferencial e suas implicações, no próprio livro do Stewart tem, cap. 3.10 7ed, isso será útil nos estudos posteriores, principalmente na parte de diferencial total.
lucaswsn- Iniciante
- Mensagens : 4
Data de inscrição : 27/04/2015
Idade : 26
Localização : Volta Redonda - RJ - Brasil
Re: Conceito por trás da Regra da Substituição
Falando rigorosamente, dy/dx não é uma fração. Considerar como uma fração é possível por causa de um teorema, um amigo meu me disse que é o teorema da função inversa, mas como não estou nesse patamar, não sei lhe confirmar.
SnoopLy- Jedi
- Mensagens : 225
Data de inscrição : 23/02/2017
Idade : 24
Localização : Brasil, Rio de Janeiro
Re: Conceito por trás da Regra da Substituição
Imagine um móvel em MRUV, quem tem uma variação de velocidade ∆V = Va - Vb num intervalo de tempo ∆t = ta - tb
A aceleração deste movimento é dada por a = ∆V/∆t ---> ∆V = a.∆t
Se a variação da velocidade e o intervalo de tempo forem infinitesimais, teremos:
a = dV/dt o valor da aceleração é dado pela derivada da função velocidade em relação ao tempo. Podemos, portanto escrever:
dV = a.dt
Provando isto:
V = Vo + a.t ---> a = dV/dt ---> a = 0 + a ---> a = a ---> OK
Logo, de um modo geral, para qualquer função y = f(x) e derivada y'(x) :
dy/dx = y'(x) ---> dy = y'(x).dx
A aceleração deste movimento é dada por a = ∆V/∆t ---> ∆V = a.∆t
Se a variação da velocidade e o intervalo de tempo forem infinitesimais, teremos:
a = dV/dt o valor da aceleração é dado pela derivada da função velocidade em relação ao tempo. Podemos, portanto escrever:
dV = a.dt
Provando isto:
V = Vo + a.t ---> a = dV/dt ---> a = 0 + a ---> a = a ---> OK
Logo, de um modo geral, para qualquer função y = f(x) e derivada y'(x) :
dy/dx = y'(x) ---> dy = y'(x).dx
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71437
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Conceito por trás da Regra da Substituição
E o problema está exatamente no caso da variação ser não finita, e sim infinitesimal. A derivada pode ser considerada um operador, mas essa "demonstração" não seria válida numa prova de matemática pura, mas a física basicamente não liga pra essas formalidades, contanto que funcione...
Última edição por SnoopLy em 8/1/2020, 12:57 am, editado 1 vez(es)
SnoopLy- Jedi
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Data de inscrição : 23/02/2017
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Re: Conceito por trás da Regra da Substituição
https://math.stackexchange.com/questions/21199/is-frac-textrmdy-textrmdx-not-a-ratio
no link acima tem uma discussão sobre isso, o buraco é mais embaixo do que parece...
no link acima tem uma discussão sobre isso, o buraco é mais embaixo do que parece...
SnoopLy- Jedi
- Mensagens : 225
Data de inscrição : 23/02/2017
Idade : 24
Localização : Brasil, Rio de Janeiro
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