Uma circunferência

Dada uma circunferência de diâmetro AB, centro O e um ponto C da circunferência, achar o lugar geométrico
dos pontos de intersecção do raio OC á paralela ao diâmetro AB e passando pelo pé da perpendicular a AC
tirada por O.

a) um segmento de reta paralelo a AB.
b) uma circunferência de raio 2R/3 e origem O.
c) uma circunferência de raio R/2 e origem O.
d) uma elipse de semi-eixo maior OA.
e) N.d.r.a.

Veja a seguinte figura ilustrativa:



Como H é ponto médio de AC e HE é paralelo a AO, tem-se que AOC é semelhante a HEC, com razão 2 para 1. Logo, HE = EC = R/2. Além disso, como OC = R, tem-se que OE = R/2. Com isso, E tem como lugar geométrico uma circunferência com centro em O e raio R/2.

Victor

Entendi que o ponto C excursiona pela circunferência. Então como fica o caso em que C é idêntico a A ou a B?

Boa noite Medeiros,
eu me esqueci completamente desse casos, me desculpe. O que fiz foi para o caso em que C é diferente de A e B, mas ainda assim E descreveria uma circunferência com raio R/2 e centro O, com exceção dos pontos que estão sobre o diâmetro AB (só isso já faz com que o lugar geométrico não seja uma circunferência certinha). Se considerarmos ainda os casos A = C e B = C (não sei se é para incluir esses casos, dado a forma como o problema está escrito), os pontos de intersecção seriam os segmentos de reta AO e OB, respectivamente. Sendo assim, o lugar geométrico seria a a união de dois lugares geométricos: a circunferência com raio R/2 e centro O e o diâmetro AB.

É exatamente isso o que penso também, Victor. Há uma descontinuidade da circunferência sobre o diâmetro AB. Fica, como você já explicou bem, uma circunferência centrada em O, com raio R/2 e cortada pelo segmento AB=2R (cujo ponto médio é O).

Só fui ranheta porque não gostei da descrição do enunciado. Mas acho perfeita a sua resolução.