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ITA raízes de polinômio.

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ITA raízes de polinômio. Empty ITA raízes de polinômio.

Mensagem por Xm280 Qui 14 Nov 2019, 11:51

Seja M = 1/a² + 1/b² + 1/c² onde a, b e c são raízes da equação x³ - √3*x² + 54 = 0. Então, podemos afirmar que:

a) log3M é um número irracional.
b) log3M é um número primo.
c) log3M = 5/3
d) log3M = -5/2
e) n.d.a

Gabarito:
a

Meu M está dando 1/9, o que faz log3(1/9) = -2, resultando no item E. Se alguém conseguir resolver, por favor, poste sua resolução.

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ITA raízes de polinômio. Empty Re: ITA raízes de polinômio.

Mensagem por SnoopLy Qui 14 Nov 2019, 20:53

Faça x=1/y

54y³-(√3)y+1=0

As raízes são: 1/a, 1/b e 1/c

vamos chamara de u,v,w respectivamente

Por Girard
(u+v+w)=0

(u+v+w)²=u²+v²+w²+2(uv+uw+vw)

u²+v²+w²=(-2)(-√3)=2√3=M

log₃M=log₃(2√3) que é um número irracional.
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ITA raízes de polinômio. Empty Re: ITA raízes de polinômio.

Mensagem por Xm280 Sex 15 Nov 2019, 13:07

huuuuuuuum. Gênio!

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Mensagem por Elcioschin Sex 15 Nov 2019, 17:45

Outro modo, sem incógnita auxiliar:

x³ - √3.x² + 0.x + 54 = 0 ---> Girard

a + b + c = √3 ---> I

a.b + a.c + b.c = 0 ---> II

a.b.c = - 54 ---> III

Elevando II ao quadrado ---> (a.b)² + (a.c)² + (b.c)² = - 2.(a.b.c).(a + b + c) ---> 

(a.b)² + (a.c)² + (b.c)² = -2.(-54).√3 = 108.√3

M = 1/a² + 1/b² + 1/c² = [(a.b)² + (a.c)² + (b.c)²]/(a.b.c)² --->

M = (108.√3)/(54)² --> M = √3/27 ---> M = 31/2/3³ ---> M = 3-5/2

log3(3-5/2) = - 5/2 ---> D

Cheguei numa alternativa diferente. Por favor confiram minha solução.


Última edição por Elcioschin em Sab 16 Nov 2019, 11:23, editado 1 vez(es)
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ITA raízes de polinômio. Empty Re: ITA raízes de polinômio.

Mensagem por Xm280 Sex 15 Nov 2019, 20:57

Eu corrigi a minha e deu -5/2. Aparentemente é essa resposta.

Há um erro na resolução do Snooply

Ao fazer a recíproca, deve-se obter a equação: 1 - √3y +54y³

Assim, o termo (uv+uw+vw) = -√3/54
substituindo na expressão:

(u+v+w)²=u²+v²+w²+2(uv+uw+vw)

0 = M + 2(-√3/54)
M = √3/27 = 3^(-5/2)

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ITA raízes de polinômio. Empty Re: ITA raízes de polinômio.

Mensagem por SnoopLy Sab 16 Nov 2019, 08:56

Sim, esqueci de dividir por 54 quando digitei, mas a ideia era essa.
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